a: \(2xy+x-y+xy^2+2xy\)

\(=x-y+xy^2+\left(2xy+2xy\right)\)

\(=x-y+xy^2+4xy\)

b: \(5xy^2+4y-4x\cdot2y^2\)

\(=4y+5xy^2-8xy^2\)

\(=4x-3xy^2\)

c: \(\sqrt{25}+\sqrt{36}+\sqrt{49}+...+\sqrt{100}\)

=5+6+7+8+9+10

=15+15+15

=45

d: Đặt \(A=1+4+9+16+...+9801+10000\)

Đặt \(B=1+8+27+...+729+1000\)

 \(A=1+4+9+...+10000\)

\(=1^2+2^2+...+100^2\)

\(=\dfrac{100\left(100+1\right)\left(2\cdot100+1\right)}{6}\)

\(=\dfrac{100\cdot101\cdot201}{6}\)

\(B=1+8+27+...+1000\)

\(=1^3+2^3+...+10^3=\left(1+2+...+10\right)^2\)

\(=55^2\)

=>\(A-B=\dfrac{100\cdot101\cdot201}{6}-55^2=335325\)

\(\dfrac{A+C+E}{3}\) + \(\dfrac{A+B+D}{3}\) = 40 + 28

\(\dfrac{2A}{3}\)+\(\dfrac{B+C+E+D}{3}\)= 68

\(\dfrac{2A}{3}\)+ 33 = 68

\(\dfrac{2A}{3}\)=35

2A = 35 X 3

2A = 105

A =\(\dfrac{105}{2}\)

Từ (1) \(\Rightarrow A+C+E=40\cdot3=120\)

Từ (2) \(\Rightarrow A+B+D=28\cdot3=84\)

Từ (3) \(\Rightarrow B+C+D+E=33\cdot3=99\)

Suy ra:

\(\left(A+C+E+A+B+D\right)-\left(B+C+D+E\right)=\left(120+84\right)-99\)

\(2A+\left(B+C+D+E\right)-\left(B+C+D+E\right)=105\)

\(2A=105\)

\(A=52,5\)

Vậy \(A=52,5\)

b: \(\dfrac{1}{2^2}< \dfrac{1}{1\cdot2}=1-\dfrac{1}{2}\)

\(\dfrac{1}{3^2}< \dfrac{1}{2\cdot3}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}\)

...

\(\dfrac{1}{100^2}< \dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}\)

Do đó: \(A=\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{100^2}< 1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}\)

=>\(A< 1-\dfrac{1}{100}\)

=>A<1

=>0<A<1

=>A không là số tự nhiên

a: \(A=1+4+9+...+10000\)

\(=1^2+2^2+...+100^2\)

\(=\dfrac{100\left(100+1\right)\left(2\cdot100+1\right)}{6}\)

\(=\dfrac{100\cdot101\cdot201}{6}\)

\(B=1+8+27+...+1000\)

\(=1^3+2^3+...+10^3=\left(1+2+...+10\right)^2\)

\(=55^2\)

=>\(A-B=\dfrac{100\cdot101\cdot201}{6}-55^2=335325\)

2 lần số vở của Cường là:

30+15+3x3=45+9=54(quyển)

Số vở của Cường là:

54:2=27(quyển)

Hai Trung bình cộng số quyển vở của ba bạn là :

30 + 15 + 3 = 48 ( quyển vở)

Trung bình cộng số quyển vở của ba bạn là :

48 : 2 = 24 ( quyển vở)

Số quyển vở của bạn Cường có là:

24 + 3 = 27 ( quyển vở)

Đáp số : 27 quyển vở

A = 1² + 2² + 3² + ... + 100²

A = 1 + 2 x (1 + 1) + 3 x (2 + 1) + ... + 100 x (99 + 1)

A = 1 + 2 x 1 + 2 + 3 x 2 + 3 + ... + 100 x 99 + 100

A = (1 + 2 + 3 + ... + 100) + (1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + ... + 99 x 100)

Ta gọi biểu thức: 1 + 2 + 3 + ... + 100 = C

                            1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + ... + 99 x 100 = D

C = (1 + 100) x 100 : 2 = 5 050 

D = 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + ... + 99 x 100

3D = 1 x 2 x 3 + 2 x 3 x 3 + 3 x 4 x 3 + ... + 99 x 100 x 3

3D = 1 x 2 x 3 + 2 x 3 x (4 - 1) +...+ 99 x 100 x (101 - 98)

3D = 1 x 2 x 3 + 2 x 3 x 4 - 2 x 3 x 1 +... - 99 x 100 x 98

3D =  98 x 99 x 100

3D = 970 200

D = 970 200 : 3

D = 323 400

A = 5 050 + 323 400 = 328 450

B = 1³ + 2³ + 3³ + ... + 50³

B = 1 + 2 x ( 2²) + 3 x (3²) + ... + 50 x (50²)

B = 1 + 2² x (1 + 1) + 3² x (2 + 1) + ... + 50² x (49 + 1)

B = 1² + 1 x 2² + 2² + 2 x 3² + 3² + ... + 49 x 50² + 50²

B = (1² + 2² + 3² + ... + 50²) + (1 x 2² + 2 x 3² + ... + 49 x 50²)

Đặt biểu thức: 1² + 2² + 3² + ... + 50² = E

E = 1 + 2 x (1 + 1) + 3 x (2 + 1) + ... + 50 x (49 + 1)

E = 1 + 1 x 2 + 2 + 3 x 2 + 3 + ... + 50 x 49 + 50

E = (1 + 2 + 3 + ... + 50) + (1 x 2 + 2 x 3 + ... + 49 x 50)

Đặt biểu thức: 1 + 2 + 3 + ... + 50 = F

                        1 x 2 + 2 x 3 + ... + 49 x 50 = G

F = (1 + 50) x 50 : 2 = 1275

3G = 1 x 2 x 3 + 2 x 3 x 3 + ... + 49 x 50 x 3

3G = 1 x 2 x 3 + 2 x 3 x (4 - 1) + ... + 49 x 50 x (51 - 48)

3G = 1 x 2 x 3 + 2 x 3 x 4 - 2 x 3 x 1 + ... + 49 x 50 x 51 - 49 x 50 x 48

3G = 49 x 50 x 51

3G = 124950

G = 124950 : 3 = 41650

B = 41650 + 1275 = 42925

b) B = 3 + 3² + 3³ + 3⁴ + ... + 3¹⁰⁰

3B = 3² + 3³ + 3⁴ + ... + 3¹⁰¹

3B - B = 3¹⁰¹ - 3

2B = 3¹⁰¹ - 3

Ta có:

2B + 3ⁿ = 3¹⁰¹

3¹⁰¹ - 3 + 3ⁿ = 3¹⁰¹

⇒ 3ⁿ = 3

3¹ = 3

⇒ n = 1

b: \(B=3+3^2+...+3^{100}\)

=>\(3B=3^2+3^3+...+3^{101}\)

=>\(3B-B=3^2+3^3+...+3^{101}-3-3^2-...-3^{100}\)

=>\(2B=3^{101}-3\)

\(2B+3^n=3^{101}\)

=>\(3^{101}-3+3^n=3^{101}\)

=>\(3^n=3\)

=>n=1

x + 157 = 24 450 : 75 

x + 157 = 326

x = 326 -157

x =169

\(75\times\left(x+157\right)=24450\)

=>\(x+157=\dfrac{24450}{75}=326\)

=>x=326-157=169

x:y:z=1:2:3

=>\(\dfrac{x}{1}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z}{3}\)

mà 2x+6y+2z=60

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{x}{1}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z}{3}=\dfrac{2x+6y+2z}{2\cdot1+6\cdot2+2\cdot3}=\dfrac{60}{20}=3\)

=>\(x=3\cdot1=3;y=3\cdot2=6;z=3\cdot3=9\)

Ta có: \(\dfrac{x}{1}=\dfrac{y}{2}=\dfrac{z}{3}\Rightarrow\dfrac{2x}{2}=\dfrac{6y}{12}=\dfrac{2z}{6}\) 

Áp dụng tính chất dãy tỉ sống bằng nhau, ta có:

\(\dfrac{2x}{2}=\dfrac{6y}{12}=\dfrac{2z}{6}=\dfrac{2x+6y+2z}{2+12+6}=\dfrac{60}{20}=3\)

Do đó:

\(\dfrac{x}{1}=3\Rightarrow x=1.3=3\)

\(\dfrac{y}{2}=3\Rightarrow y=2.3=6\)

\(\dfrac{z}{3}=3\Rightarrow z=3.3=9\)

Vậy x = 3; y = 6; z = 9.

\(#NqHahh\)

\(\dfrac{a}{b}=\dfrac{3}{1}\Rightarrow3a=b\)

\(\dfrac{a}{b+24}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow3a=b+24\Rightarrow9b=b+24\)

\(\Rightarrow8b=24\Rightarrow b=24\div8=3\)

\(\Rightarrow a=3\times3=9\)

Vậy ^Shình chữ nhật là: \(3\times9=27\left(cm^2\right)\)

Đáp số: \(27cm^2\)