\(\left(\frac{1}{x^2}-1\right)\left(\frac{1}{y^2}-1\right)\left(\frac{1}{z^2}-1\right)=\frac{\left(1-x^2\right)\left(1-y^2\right)\left(1-z^2\right)}{x^2y^2z^2}\)

\(=\frac{\left(1+x\right)\left(1-x\right)\left(1+y\right)\left(1-y\right)\left(1+z\right)\left(1-z\right)}{x^2y^2z^2}\)

\(\ge\frac{\left(x+y+z+x\right)\left(x+y+z-x\right)\left(x+y+z+y\right)\left(x+y+z-y\right)\left(x+y+z+z\right)\left(x+y+z-z\right)}{x^2y^2z^2}\)

\(\ge\frac{4\sqrt[4]{x^2yz}.2\sqrt{yz}.4\sqrt[4]{xy^2z}.2\sqrt{zx}.4\sqrt[4]{xyz^2}.2\sqrt{xy}}{x^2y^2z^2}\)

\(=\frac{512x^2y^2z^2}{x^2y^2z^2}=512\)

Xét đường tròn (O;R) có \(\widehat{MTA}\)là góc tạo bởi tiếp tuyến MT (tiếp điểm là T) và dây cung TA \(\Rightarrow\widehat{MTA}=\frac{1}{2}sđ\widebat{TA}\)

Mà \(\widehat{MBT}\)là góc nội tiếp chắn cung TA \(\Rightarrow\widehat{MBT}=\frac{1}{2}sđ\widebat{TA}\)

\(\Rightarrow\widehat{MTA}=\widehat{MBT}\left(=\frac{1}{2}sđ\widebat{TA}\right)\)

Xét \(\Delta MTA\)và \(\Delta MBT\), ta có: \(\widehat{BMT}\)chung; \(\widehat{MTA}=\widehat{MBT}\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta MTA~\Delta MBT\left(g.g\right)\)\(\Rightarrow\frac{MT}{MB}=\frac{MA}{MT}\Rightarrow MT^2=MA.MB\)(1)

Hoàn toàn tương tự, ta có \(MT^2=MC.MD\)(2)

Vì MT là tiếp tuyến tại T của (O) \(\Rightarrow MT\perp OT\)tại T \(\Rightarrow\Delta OMT\)vuông tại T

\(\Rightarrow OM^2=MT^2+OT^2\)\(\Rightarrow MT^2=OM^2-OT^2\)

Đồng thời MT là tiếp tuyến tại T của (O;R) \(\Rightarrow OT=R\)

Như vậy ta có \(MT^2=OM^2-R^2\)(3)

Từ (1), (2) và (3) ta có đpcm.

CÓ AI CÒN ON KHÔNG

GIÚP MÌNH

a/

Ta có A và M cùng nhìn BK dưới 1 góc vuông => A và M nằm trên đường tròn đường kính BK => ABMK là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BK

Xét \(\Delta AMC\) và \(\Delta BKC\) có

\(\widehat{ACB}\) chung

\(\widehat{KBC}=\widehat{MAC}\) (góc nội tiếp đường tròn cùng chắn cung KM)

\(\Rightarrow\Delta BKC\) đồng dạng với \(\Delta AMC\) (g.g.g)

Xét tg vuông AHM có

HM=HA => tg AHM vuông cân tại H \(\Rightarrow\widehat{AMB}=45^o\)

Ta có \(\widehat{AKB}=\widehat{AMB}=45^o\) (góc nội tiếp đường tròn cùng chắn cung AB)

Xét tg vuông ABK có

\(\widehat{ABK}=90^o-\widehat{AKB}=90^o-45^o=45^o\)

\(\Rightarrow\widehat{ABK}=\widehat{AKB}=45^o\)=> tg ABK vuông cân tại A => AB=AK

\(\Rightarrow BK=\sqrt{AB^2+AK^2}=\sqrt{AB^2+AB^2}=AB\sqrt{2}\) (Pitago)

b/

Xét tg vuông cân ABK có

IB=IK (gt) => AI là trung tuyến => \(AI\perp BK\) (trong tg cân đường trung tuyến xp từ đỉnh đồng thời là đường cao)

=> I và H cùng nhìn AB dưới 1 góc vuông => ABHI là tứ giác nội tiếp

\(\Rightarrow\widehat{AHI}=\widehat{ABK}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung AI)

Mà \(\widehat{ABK}=45^o\left(cmt\right)\Rightarrow\widehat{AHI}=45^o\)