Vì \(p\) là số nguyên tố lớn hơn 3 nên \(p\) có dạng \(3k+1\) hoặc \(3k+2\)

 TH1: Nếu \(p=3k+1\) thì vì p là SNT nên \(k\) chẵn \(\Rightarrow k=2n\) \(\Rightarrow p=6n+1\)

\(\Rightarrow\)\(P=\left(p-1\right)\left(p+1\right)\)

\(=6n\left(6n+2\right)\)

\(=12n\left(3n+1\right)\)

Nếu \(n\) chẵn thì \(n\left(3n+1\right)⋮2\) \(\Rightarrow P=12n\left(3n+1\right)⋮12.2=24\)

Nếu \(n\) lẻ thì \(3n+1⋮2\) \(\Rightarrow P=12n\left(3n+1\right)⋮12.2=24\)

Vậy \(P⋮24\), đpcm.

TH \(p=3k+2\) thì suy ra \(k\) lẻ \(\Rightarrow k=2n+1\) rồi xét tương tự nhé

\(\dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{4}{7}+\dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{3}{7}-\dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{5}\cdot\left(\dfrac{4}{7}+\dfrac{3}{7}-1\right)=\dfrac{1}{5}\cdot\left(1-1\right)=0\)

________

\(\dfrac{3}{7}\cdot\dfrac{5}{8}+\dfrac{3}{7}\cdot\dfrac{11}{8}-\dfrac{3}{7}=\dfrac{3}{7}\cdot\left(\dfrac{5}{8}+\dfrac{11}{8}-1\right)=\dfrac{3}{7}\cdot\left(\dfrac{16}{8}-1\right)=\dfrac{3}{7}\cdot\left(2-1\right)=\dfrac{3}{7}\cdot1=\dfrac{3}{7}\) 

_______

\(12\left(\dfrac{7}{6}-\dfrac{8}{12}+\dfrac{29}{4}\right)=12\cdot\dfrac{7}{6}-12\cdot\dfrac{8}{12}+12\cdot\dfrac{29}{4}=14-8+87=93\) 

__________

\(58\cdot\left(3\dfrac{1}{29}-2\dfrac{1}{58}\right)=58\cdot\left(\dfrac{88}{29}-\dfrac{117}{58}\right)=58\cdot\dfrac{88}{29}-58\cdot\dfrac{117}{58}=176-117=59\)

- \(\dfrac{5}{6}\).(\(\dfrac{1}{3}\) - \(\dfrac{7}{9}\)).\(\dfrac{12}{25}\) - \(\dfrac{5}{4}\)

 - \(\dfrac{5}{6}\).(-\(\dfrac{4}{9}\)).\(\dfrac{12}{25}\) - \(\dfrac{5}{4}\)

= \(\dfrac{5.4.2.6}{6.9.5.5}\) - \(\dfrac{5}{4}\)

= \(\dfrac{8}{45}\) - \(\dfrac{5}{4}\)

= -\(\dfrac{193}{180}\)

\(\dfrac{1}{5}.\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{7}{4}\right)-\dfrac{3}{4}.\left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{11}{12}\right)\)

\(\dfrac{1}{5}.\left(-\dfrac{5}{4}\right)-\dfrac{3}{4}.\left(-\dfrac{7}{12}\right)\)

\(-\dfrac{1}{4}-\left(-\dfrac{7}{16}\right)\)

\(-\dfrac{1}{4}+\dfrac{7}{16}\)

     \(\dfrac{3}{16}\)

Đây là dạng toán nâng cao chuyên đề điểm và đoạn thẳng cấu trúc thi hsg, hôm nay olm.vn sẽ hướng dẫn em làm dạng này như sau:

Vì O;A; C thẳng hàng nên O \(\in\) AC;

Vì O;B;D thẳng hàng nên O \(\in\) DB 

Vậy O là giao điểm của AC  và BD.

Kết luận vị trí của điểm O sao cho ba điểm A; O; C và ba điểm; B;O;D thẳng hàng là O là giao điểm của AC và BD.

Lời giải:
a. 

$\frac{3n+2}{3}=n+\frac{2}{3}> n+\frac{1}{2}=\frac{2n+1}{2}$

$\Rightarrow \frac{3}{3n+2}< \frac{2}{2n+1}$
b.

$\frac{2n+1}{2n}=1+\frac{1}{2n}> 1+\frac{1}{3n}=\frac{1+3n}{3n}$

$\Rightarrow \frac{2n}{2n+1}< \frac{3n}{3n+1}$

\(\dfrac{3}{7}-\dfrac{1}{2}x=\dfrac{5}{3}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{2}x=\dfrac{3}{7}-\dfrac{5}{3}\)

\(\Rightarrow x=2\cdot-\dfrac{26}{21}\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{-52}{21}\) 

______

\(2x-\dfrac{3}{4}=\dfrac{-5}{8}\)

\(\Rightarrow2x=\dfrac{-5}{8}+\dfrac{3}{4}\)

\(\Rightarrow2x=\dfrac{1}{8}\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{1}{8}:2\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{1}{16}\) 

________

\(\dfrac{1}{4}x-\left(-\dfrac{7}{5}\right)=\dfrac{-5}{3}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{4}x+\dfrac{7}{5}=\dfrac{-5}{3}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{4}x=\dfrac{-5}{3}-\dfrac{7}{5}\)

\(\Rightarrow x=4\cdot-\dfrac{46}{15}\)

\(\Rightarrow x=-\dfrac{184}{15}\)

______

\(2\dfrac{1}{3}x-\dfrac{3}{4}=1\dfrac{1}{6}\)

\(\Rightarrow\dfrac{7}{3}x-\dfrac{3}{4}=\dfrac{7}{6}\)

\(\Rightarrow\dfrac{7}{3}x=\dfrac{7}{6}+\dfrac{3}{4}\)

\(\Rightarrow\dfrac{7}{3}x=\dfrac{23}{12}\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{23}{12}:\dfrac{7}{3}\)

\(\Rightarrow x=\dfrac{23}{28}\) 

Bạn làm nốt cho mình bài trên dc ko

\(\dfrac{-5}{8}:\dfrac{15}{4}=\dfrac{-5}{8}\cdot\dfrac{4}{15}=\dfrac{-1\cdot1}{2\cdot3}=\dfrac{-1}{6}\)

\(\dfrac{-15}{17}:\dfrac{25}{-34}=\dfrac{-15}{17}\cdot\dfrac{-34}{25}=\dfrac{-3\cdot-2}{1\cdot5}=\dfrac{-6}{5}\)

\(-12:\dfrac{8}{3}=-12\cdot\dfrac{3}{8}=\dfrac{-12\cdot3}{8}=\dfrac{-3\cdot3}{2}=\dfrac{-9}{2}\)

\(\dfrac{-15}{14}:\dfrac{20}{-21}=\dfrac{-15}{14}\cdot\dfrac{-21}{20}=\dfrac{-3\cdot-3}{2\cdot4}=\dfrac{-9}{8}\)

\(-48:\dfrac{-24}{5}=-48\cdot\dfrac{5}{-24}=\dfrac{-48\cdot5}{-24}=2\cdot5=10\) 

\(\dfrac{-30}{7}:\dfrac{-5}{-14}=\dfrac{-30}{7}:\dfrac{5}{14}=\dfrac{-30}{7}\cdot\dfrac{14}{5}=\dfrac{-6\cdot2}{1\cdot1}=-18\) 

a) Gọi \(ƯCLN\left(a^2,a+b\right)=d\)  với \(d\inℕ^∗\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2⋮d\\a+b⋮d\end{matrix}\right.\) 

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2⋮d\\a^2+ab⋮d\end{matrix}\right.\) 

\(\Rightarrow ab⋮d\) 

Vì \(a,b\) nguyên tố cùng nhau \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a⋮d\\b⋮d\end{matrix}\right.\)

Hơn nữa, vì \(a+b⋮d\) nên nếu \(a⋮d\) thì \(b⋮d\). Nếu \(b⋮d\) thì \(a⋮d\). Như vậy \(a,b⋮d\).

 Nhưng do \(a,b\) nguyên tố cùng nhau nên \(d=1\) \(\RightarrowƯCLN\left(a^2,a+b\right)=1\) hay \(a^2,a+b\) nguyên tố cùng nhau.

b) Gọi \(ƯCLN\left(ab,a+b\right)=d\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}ab⋮d\\a+b⋮d\end{matrix}\right.\)

 Vì a và b nguyên tố cùng nhau nên từ \(ab⋮d\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a⋮d\\b⋮d\end{matrix}\right.\). Đến đây kết hợp với \(a+b⋮d\)  và lập luận tương tự như câu a), sẽ chứng minh được \(d=1\)

Bài 12:

a) \(\dfrac{12}{3n-1}\) là một số nguyên khi:

\(12\) ⋮ \(3n-1\) 

\(\Rightarrow3n-1\inƯ\left(12\right)=\left\{1;-1;2;-2;3;-3;4;-4;6;-6;12;-12\right\}\)

\(\Rightarrow3n\in\left\{2;0;3;-1;4;-2;5;-3;7;-5;13;-11\right\}\)

\(\Rightarrow n\in\left\{\dfrac{2}{3};0;1;-\dfrac{1}{3};\dfrac{4}{3};-\dfrac{2}{3};\dfrac{5}{3};-1;\dfrac{7}{3};-\dfrac{5}{3};\dfrac{13}{3};-\dfrac{11}{3}\right\}\)

Mà: \(n\in Z\Rightarrow n\in\left\{0;1;-1\right\}\)

b) \(\dfrac{2n+3}{7}\) là một số nguyên khi:

\(2n+3\) ⋮ 7 

\(\Rightarrow2n+3\in B\left(7\right)\) 

Do \(n\in Z\) nên \(2n+3\) lẻ 

\(\Rightarrow2n+3\in B\left(7,\text{lẻ}\right)\)

\(\Rightarrow n\in\dfrac{B\left(7,\text{lẻ}\right)-3}{2}\) 

c) \(\dfrac{2n+5}{n-3}=\dfrac{2n-6+11}{n-3}=\dfrac{2\left(n-3\right)+11}{n-3}=2+\dfrac{11}{n-3}\)

Là một số nguyên khi:

11 ⋮ \(n-3\)

\(\Rightarrow n-3\inƯ\left(11\right)=\left\{1;-1;11;-11\right\}\)

\(\Rightarrow n\in\left\{4;2;14;-8\right\}\)

Bài 8: 

S = \(\dfrac{3}{10}\) + \(\dfrac{3}{11}\) + \(\dfrac{3}{12}\) + \(\dfrac{3}{13}\) + \(\dfrac{3}{14}\)

\(\dfrac{3}{10}>\dfrac{3}{11}>\dfrac{3}{12}>\dfrac{3}{13}>\dfrac{3}{14}\)

S < \(\dfrac{3}{10}\).5 = \(\dfrac{3}{2}\) = 1 + \(\dfrac{1}{2}\) 

S > \(\dfrac{3}{14}.5\) = \(\dfrac{15}{14}\) =  1 + \(\dfrac{1}{14}\) 

Vì \(\dfrac{1}{14}\) < \(\dfrac{1}{2}\) nên 

1 < \(\dfrac{15}{14}\) < S < \(\dfrac{3}{2}\) < 2 

Vậy 1 < S < 2 (đpcm)

2008 nhé chúc năm mới vui vẻ