1. Ta có: \(2a=3b\Rightarrow10a=15b\\ 5b=7c\Rightarrow15b=21c\)
\(\Rightarrow10a=15b=21c\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{21}=\dfrac{b}{14}=\dfrac{c}{10}\)
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
\(\dfrac{a}{21}=\dfrac{b}{14}=\dfrac{c}{10}=\dfrac{3a+5b-7c}{3.21+5.14-7.10}=\dfrac{30}{63}=\dfrac{10}{21}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{21}=\dfrac{10}{21}\Rightarrow a=10\left(tm\right)\\\dfrac{b}{14}=\dfrac{10}{21}\Rightarrow b=\dfrac{20}{3}\left(tm\right)\\\dfrac{c}{10}=\dfrac{10}{21}\Rightarrow c=\dfrac{100}{21}\left(tm\right)\end{matrix}\right.\)

Gọi \(ƯCLN\left(4n+1;6n+1\right)=d\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4n+1 ⋮ d\\6n+1 ⋮ d\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3\left(4n+1\right)⋮d\\2\left(6n+1\right)⋮d\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}12n+3⋮d\\12n+2⋮d\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left(12n+3\right)-\left(12n+2\right)⋮d\)
\(\Rightarrow1⋮d\)
 \(\Rightarrow d=1\)
\(\RightarrowƯCLN\left(4n+1;6n+1\right)=1\)
\(\Rightarrow4n+1;6n+1\) nguyên tố cùng nhau
Vậy \(\dfrac{4n+1}{6n+1}\) luôn tối giản với mọi \(n\in N\)
 

Vì: \(x,y\in Z\Rightarrow\left(x+5\right), \left(2y+1\right)\in Z\) \(\left(x+5\right)\left(2y+1\right)=4\\ \Rightarrow x+5; 2y+1 \inƯ\left(4\right)=\left\{\pm1;\pm2;\pm4\right\} \)
Ta thấy: \(\left(2y+1\right)\) là số lẻ
\(\Rightarrow2y+1\in\left\{\pm1\right\}\\ \Rightarrow x+5\in\left\{\pm4\right\}\)
Lập bảng

Vậy cặp số \(\left(x;y\right)\in\left\{\left(-1;0\right);\left(-9;-1\right)\right\}\)

Ghi số thứ tự 180 học sinh thì có 180 học sinh rồi mà

a. Ta có: 126 x 120
= (123 + 3) x (123 - 3)
= 123 x (123 - 3) + 3 x (123 - 3)
= (123 x 123 - 123 x 3) + (123 x 3 - 3 x 3)
= 123 x 123 - 123 x 3 + 123 x 3 - 3 x 3
= 123 x 123 - 9
Lại có: 124 x 122
= (123 + 1) x (123 - 1)
= 123 x (123 - 1) + 1 x (123 - 1)
= (123 x 123 - 123 x 1) + (123 - 1)
= 123 x 123 - 123 + 123 - 1
= 123 x 123 - 1
Ta thấy: 123 x 123 = 123 x 123
=> 123 x 123 - 9 < 123 x 123 - 1

\(A=2+2^2+2^3+2^4+...+2^{2015}+2^{2016} \)
\(A=\left(2+2^2+2^3\right)+...+\left(2^{2014}+2^{2015}+2^{2016}\right)\) (có 672 bộ số)
\(A=2\left(1+2+2^2\right)+...+2^{2014}\left(1+2+2^2\right)\) (phân phối)
\(A=\left(1+2+2^2\right)\left(2+...+2^{2014}\right)\)
\(A=7\left(2+...+2^{2014}\right)⋮7\)
 

7 chữ số 0

\(x-3=y\left(x+2\right)\)
\(x-3=xy+2y\)
\(x-xy+2y=3\)
\(x\left(1-y\right)-2+2y=1\)
\(x\left(1-y\right)-2\left(1-y\right)=1\)
\(\left(1-y\right)\left(x-2\right)=1\)
Lập bảng:

Vậy \(\left(x;y\right)\in\left\{\left(3;0\right);\left(1;2\right)\right\}\)

Tách 2024 điểm ra thành 2 nhóm là 24 điểm thẳng hàng và 2000 điểm còn lại
+) Xét 2000 điểm không thẳng hàng
Mỗi điểm sẽ nối với 1999 điểm còn lại, mỗi đường lặp lại 2 lần nên ta có:
     2000 điểm không thẳng hàng tạo số đường thẳng là:
     \(\dfrac{2000.1999}{2}=1999000\) (đường)
+) Xét 24 điểm thẳng hàng
Mỗi điêm sẽ nối với 2000 điểm còn lại nên ta có:
     \(24.2000=48000\) (đường)
+) Vậy tổng số đường thẳng mà 2024 điểm trên tạo thành là:
   \(1999000+48000+1=2047001\) (đường)
(Bài mình tự làm nên có thể có sai sót)

\(B=\dfrac{1}{2^2}-\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{3^2}-\dfrac{1}{4^2}+...+\dfrac{1}{9^2}-\dfrac{1}{10^2}\)
\(B=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{100}=\dfrac{6}{25}\)