Xét ∆ABM có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G (giả thiết) nên G là trọng tâm của ∆ABC. Suy ra GM = GB : 2; GN  GC : 2 (t/c trọng tâm của ∆) (1)

Mà P là trung điểm của GB (giả thiết) nên GP = BP = GB : 2 (2) 

Q là trung điểm của GC (gt) nên GQ = QC = GC : 2 (3)

Từ (1) (2) (3) => GM = GP và GN = GQ (chm trên)

Xét tứ giác PQMN có GM = GP và GN = GQ (chm trên)

Do đó tứ giác PQMN có hai đường chéo là MP và NQ cắt nhau tại trung điểm G của mỗi đường nên là hình bình hành.

a) ABCD là hình bình hành nên AD = BC và AD // BC.

Mà E là trung điểm của AD nên AE = ED;

F là trung điểm của BC nên BF = FC.

Suy ra DE = BF.

Xét tứ giác EBFD có DE // BF (do AD // BC) và DE = BF nên là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

b) Ta có O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của BD.

Do EBFD là hình bình hành nên hai đường chéo BD và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà O là trung điểm của BD nên O là trung điểm của EF.

Vậy ba điểm E, O, F thẳng hàng.

a) Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD, DC = AB, suy ra AE // DF, AE = 2AB = 2CD = DF.

⇒ AEFD là hình bình hành.

Tương tự, tứ giác ABFC có các cạnh đối song song và bằng nhau nên ABFC là hình bình hành.

b) Vì AEFD là hình bình hành nên AF cắt ED tại trung điểm mỗi đường.

Vì ABFC là hình bình hành nên AF cắt BC tại trung điểm mỗi đường.

Vậy ba trung điểm của AF, DE, BC trùng nhau.

a) Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD, AB = CD, từ đó AE // CF, AE = EB = DF = FC.

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành.

Tương tự, tứ giác AECF là hình bình hành vì có hai cạnh đối AE và CF song song và bằng nhau.

b) Vì AEFD là hình bình hành nên AD = EF.

Vì AECF là hình bình hành nên AF = EC.