Xét hình thang BEDC có 

M là trung điểm BE(gt)

N là trung điểm DC (gt)

Suy ra MN là đtb của tam giác  BEDC ( dhnb đtb)

Suy ra MN song song với ED và MN song song với BC

Xét tam giác EBD có

MI song song với ED ( M,I,N thẳng hàng , MN song song với ED)

M là trung điểm EB (gt)

Suy ra I là trung điểm BD (đg thẳng đi qua trung điểm 1 cạnh của tam giác song song với cạnh thứ 2 thì đi qua trung điểm cạnh thứ 3)

Suy ra MI là đg tb của tam giác 

EBD(Dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác)

Suy ra MI = 1/2 ED(Tính chất đường trung bình của tam giác) (1)

Xét tam giác EDC có

N là trung điểm DC (gt)

KN song song với ED ( M,K,N thẳng hàng, MN song song với ED)

Suy ra K là trung điểm EC (đg thẳng đi qua trung điểm 1 cạnh của tam giác song song với cạnh thứ 2 thì đi qua trung điểm cạnh thứ 3)

Suy ra KN là đường tb của tam giác EDC(Dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác)

Suy ra KN = 1/2 ED (Tính chất đường trung bình của tam giác)(2)

Xét tam giác ABC có

E là trung điẻm AB (gt)

D là trung điểm AC(gt)

Suy ra DE là đg tb của tam giác ABC (Dấu hiệu nhận biết dường trung bình của tam giác)

Suy ra DE = 1/2 AB (Tính chất đường trung bình của tam giác)

Xét tam giác EBC có

M là trung điểm EB (gt)

K là trung điẻm EC (cmt)

Suy ra KM là đtb của tam giác EBC (Dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác)

Suy ra KM = 1/2 BC (Tính chất đường trung bình của tam giác) mà ED = 1/2 BD(cmt) nên KM = ED

Ta có M,I,K,thẳng hàng nên

MI + IK = MK

IK = MK - MI

thay MK = ED

MI = 1/2 ED

IK = ED - 1/2 ED 

IK = ED (3)

Từ (1),(2),(3) suy ra MI = IK = KN (dpcm)

Xét tam giác ABC có 

M là trung điểm AC ( BM là đường trung tuyến của tam giác ABC)

N là trung điểm AB ( CN là đường trung tuyến của tam giác ABC)

Suy ra MN là đường trung bình của tam giác ABC (Dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác)

Suy ra MN song song với BC và MN = 1/2 BC (Tính chất đường trung bình của tam giác) (1)

Xét tam BGC có

D là trung điểm BG ( gt)

E là trung điểm GC(gt)

Suy ra DE là đường trung bình của tam giác BGC (Dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác)

Suy ra DE song song với BC và DE = 1/2 BC ( Tính chất đường trung bình của tam giác) (2)

Từ (1),(2) suy ra MN song song với DE (dpcm)

b, Cũng từ (1) và (2) suy ra MN song song với DE và MN = DE suy ra MNDE là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Vẽ DN song song với BM, N thuộc AC

a, Xét tam giác BMC có

D là trung điểm BC (gt)

DN song song với BM (gt)

Suy ra N là trung điểm MC ( đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba )

Suy ra MN = NC = 1/2 MC(1) và DN là dường trung bình của tam giác BMC (Dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác)

Suy ra DN = 1/2 BM (tính chất đường trung bình) (3)

Ta có AM = 1/2 MC (2)

Từ (1),(2) suy ra AM = MN

Xét tam giác AND có

M là trung điểm AN (AM= MN, cmt)

OM song song với DN ( DN nó song song với BM, O là giao điểm của BM và AD)

Suy ra O là trung điểm AD hay OA= OD  ( đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba ) (dpcm)

Suy ra OM là đg tb của tam giác AND ( Dấu hiệu nhận biết đường trung bình của tam giác)

Suy ra OM = 1/2 DN (Tính chất đường trung bình của tam giác) (4)

b, từ (3),(4) suy ra OM = 1/4 BM (dpcm)

a, Kẻ MN song song với AB, N thuộc AC

Xét tam giác BDC có

M là trung điểm BC (gt)

MN song song với BD(gt)

Suy ra N là trung điểm của CD( đg thẳng đi qua trung điểm 1 cạnh của tam giác song song với cạnh thứ 2 thì đi qua trung điểm cạnh thứ 3) (1)

Suy ra MN là đg tb của tam giác BDC (dhnb đg tb) 

Suy ra MN = 1/2 BD (tc đg tb) (3)

Xét tam giác AMN có

I là trung điểm AM(gt) 

MN song song DI(MN song song với BD và D,I,B thẳng hàng)

Suy ra D là trung điểm AN(đg thẳng đi qua trung điểm 1 cạnh của tam giác song song với cạnh thứ 2 thì đi qua trung điểm cạnh thứ 3) (2)

Suy ra DI là đg tb của tam giác AMN( dhnb đg tb)

Suy ra DI = 1/2 MN(t/c dg tb)(4)

Từ (1),(2) suy ra AD= DN=NC

Mà CD= DN+ NC

Nên CD= AD + AD hay AD = 1/2 CD

b, từ (3),(4) suy ra ID<BD ( ID = 1/4 BD )