Đại lượng tỉ lệ thuận SVIP

I. KHÁI NIỆM

Khối lượng $m$ (kg) của thanh sắt phi 18 bằng chiều dài $x$ (m) của thanh sắt nhân với $2$.

Ta nói $m$ tỉ lệ thuận với $x$ theo hệ số tỉ lệ $2$.

Nếu đại lượng $y$ liên hệ với đại lượng $x$ theo công thức $y=kx$ (với $k$ là một hằng số khác $0$) thì ta nói $y$ tỉ lệ thuận với $x$ theo hệ số tỉ lệ $k$.

Lưu ý: 

Nếu $y$ tỉ lệ thuận với $x$ theo hệ số tỉ lệ $k$ thì $x$ tỉ lệ thuận với $y$ theo hệ số tỉ lệ \(\dfrac{1}{k}\). Ta nói $x$ và $y$ là hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau.

Ví dụ: Chu vi đường tròn $C$ có tỉ lệ thuận với đường kính $d$ hay không? Nếu có hãy xác định hệ số tỉ lệ đó.

Giải

Do $C=\pi .d$ nên chu vi đường tròn thỉ lệ thuận với đường kính theo hệ số tỉ lệ là $\pi$ (\(\pi\approx3,14\)).

Ví dụ: Cho biết $x$, $y$ là hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau và khi $x=-3$ thì $y=1$.

a) Tìm hệ số tỉ lệ của $y$ đối với $x$.

b) Viết công thức tính $y$ theo $x$.

c) Tìm số thích hợp điền vào bảng sau:

Giải

a) Gọi $k$ là hệ số tỉ lệ của $y$ đối với $x$. Ta có $y=kx$.

Vì khi $x=-3$ thì $y=1$ nên $1=k.(-3)$

hay \(k=\dfrac{1}{-3}=-\dfrac{1}{3}\).

b) Ta có \(y=-\dfrac{1}{3}x\).

c) Khi $x=-5,1$ thì \(y=-\dfrac{1}{3}.\left(-5,1\right)=1,7\).

Khi $x=-3,9$ thì \(y=-\dfrac{1}{3}.\left(-3,9\right)=1,3\).

Khi $x=2,4$ thì \(y=-\dfrac{1}{3}.2,4=-0,8\).

Khi $x=12$ thì \(y=-\dfrac{1}{3}.12=-4\).

Vậy ta có bảng: 

II. TÍNH CHẤT

Nếu hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau thì:

• Tỉ số hai giá trị tương ứng của chúng luôn không đổi;
• Tỉ số hai giá trị bất kì của đại lượng này bằng tỉ số hai giá trị tương ứng của đại lượng kia.

Cụ thể: Giả sử $y$ tỉ lệ thuận với $x$ theo hệ số tỉ lệ $k$. Với mỗi giá trị $x_1$, $x_2$, $x_3$, ... khác $0$ của $x$, ta có một giá trị tương ứng $y_1$, $y_2$, $y_3$, ... của $y$. Khi đó:

• \(\dfrac{y_1}{x_1}=\dfrac{y_2}{x_2}=\dfrac{y_3}{x_3}=...=k\);
• \(\dfrac{x_1}{x_2}=\dfrac{y_1}{y_2};\dfrac{x_1}{x_3}=\dfrac{y_1}{y_3};...\)

Ví dụ: Khối lượng và thể tích của các thanh kim loại đồng chất là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Biết hai thanh kim loại đồng chất có thể tích lần lượt là $5$ cm³ và $12,5$ cm³. Tính tỉ số khối lượng của hai thanh kim loại đó.

Giải

Gọi $m_1$ (gam) và $m_2$ (gam) lần lượt là khối lượng của hai thanh kim loại có thể tích là $5$ cm³ và $12,5$ cm³.

Áp dụng tính chất của hai đại lượng tỉ lệ thuận, ta có: \(\dfrac{m_1}{m_2}=\dfrac{5}{12,5}=\dfrac{2}{5}\).

III. MỘT SỐ BÀI TOÁN

Bài toán 1. Cô Hà mua 6 quyển vở như nhau hết $42$ $000$ đồng. Tính số tiền cô Hà phải trả khi mua $20$ quyển vở đó.

Giải

Gọi $x$ (quyển vở), $y$ (đồng) lần lượt là số quyển vở và số tiền cô Hà đã mua và đã trả.

Ta có: Số tiền phải trả tỉ lệ thuận với số quyển vở cần mua nên ta có:

\(\dfrac{y_2}{20}=\dfrac{42000}{6}\).

Suy ra: \(y_2=\dfrac{42000}{6}.20=140000\) (đồng).

Vậy số tiền cô Hà phải trả khi mua $20$ quyển vở là $140$ $000$ đồng.

Bài toán 2. Hai thửa ruộng trồng lúa lần lượt thu hoạch được $5,8$ tấn thóc và $8,7$ tấn thóc. Năng suất lúa ở hai thửa ruộng là như nhau. Hỏi mỗi thửa ruộng rộng bao nhiêu héc-ta? Biết rằng thửa ruộng thức hai rộng hơn thửa ruộng thứ nhất là $0,5$ ha.

Giải

Gọi diện tích của thửa ruộng thứ nhất và thửa ruộng thứ hai lần lượt là $s_1$ (ha), $s_2$ (ha). Khi đó: $s_2 - s_1 = 0,5$ (ha).

Vì năng suất lúa ở hai thửa ruộng là như nhau nên sản lượng lúa và diện tích thửa ruộng là hai đại lượng tỉ lệ thuận. Do đó, ta có:

\(\dfrac{s_1}{5,8}=\dfrac{s_2}{8,7}\).

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\dfrac{s_1}{5,8}=\dfrac{s_2}{8,7}=\dfrac{s_2-s_1}{8,7-5,8}=\dfrac{0,5}{2,9}=\dfrac{5}{29}\).

Suy ra: \(s_1=\dfrac{5}{29}.5,8=1\) (ha) và \(s_2=\dfrac{5}{29}.8,7=1,5\) (ha).

Vậy diện tích của thửa ruộng thứ nhất và thửa ruộng thứ hai lần lượt là $1$ ha và $1,5$ ha.