Bài học cùng chủ đề
Báo cáo học liệu
Mua học liệu
Mua học liệu:
-
Số dư ví của bạn: 0 coin - 0 Xu
-
Nếu mua học liệu này bạn sẽ bị trừ: 2 coin\Xu
Để nhận Coin\Xu, bạn có thể:
Đề thi tuyển sinh lớp 10 Sở GD&ĐT Bà Rịa - Vũng Tàu năm 2019 - 2020 SVIP
a. Giải phương trình: $x^2 - 3x + 2 = 0$.
b. Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{aligned} & x + 3y = 3\\ & 4 x - 3 y = -18 \end{aligned}\right.$.
c. Rút gọn biểu thức: $A = \dfrac2{2+\sqrt7}+\dfrac{\sqrt{28}}2 - 2$.
d. Giải phương trình: $(x^2 - 2x)^2 + (x-1)^2 - 13 = 0.$
Hướng dẫn giải:
a. Giải phương trình: $x^2 - 3x + 2 = 0$.
Có $a+b+c = 0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là $x_1=1$, $x_2=2$.
b. $\left\{ \begin{aligned} & x + 3y = 3\\ & 4 x - 3 y = -18 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & 5x = -15\\ & x + 3y = 3 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & x = -3\\ & y = 2 \end{aligned}\right.$.
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất $(x;y) = (-3;2).$
c. $A = \dfrac2{2+\sqrt7}+\dfrac{\sqrt{28}}2 - 2 = \dfrac{2.(3-\sqrt7)}{(3+\sqrt7)(3-\sqrt7)} + \dfrac{2\sqrt 7}2 - 2= 3 -\sqrt7 + \sqrt 7 - 2 = 1.$
d. $(x^2 - 2x)^2 + (x-1)^2 - 13 = 0$
$\Leftrightarrow (x^2 - 2x)^2 + (x^2-2x+1) - 13 = 0$
Đặt $t = x^2 - 2x$, khi đó phương trình trở thành: $t^2 + t - 12 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & t = 3\\ & t = -4 \end{aligned}\right.$.
+ Với $t = 3$ thì $x^2-2x = 3 \Leftrightarrow x^2 - 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x = -1\\ & x = 3 \end{aligned}\right.$.
+ Với $t = -4$ thì $x^2-2x = - 4 \Leftrightarrow x^2 - 2x + 4 = 0 \Leftrightarrow (x-1)^2 + 3 >0$ nên phương trình vô nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm $x = -1,$ $x = 3.$
Cho parabol $(P):$ $y = -2 x^2$ và đường thẳng $(d):$ $y = x - m$ (với $m$ là tham số).
a. Vẽ parabol $(P)$.
b. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1$, $x_2$ thỏa mãn điều kiện $x_1 + x_2 = x_1. x_2$.
Hướng dẫn giải:
a. Vẽ parabol $(P):$ $y=-2x^2$.
| $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ |
| $y=-2x^2$ | $-8$ | $-2$ | $0$ | $-2$ | $-8$ |
b.
Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ là: $-2x^2 = x - m \Leftrightarrow 2x^2 + x - m = 0.$
$\Delta = 1 + 8m$.
Để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $\Leftrightarrow m > -\dfrac18$.
Áp dụng hệ thức Vi-et ta có $\left\{ \begin{aligned} & x_1 + x_2 = -\dfrac12\\ & x_1x_2 = -\dfrac m2 \end{aligned}\right.$.
Để $x_1 + x_2 = x_1x_2 \Leftrightarrow -\dfrac12 = -\dfrac m2 \Leftrightarrow m = 1$ (thỏa mãn).
Có một vụ tai nạn ở vị trí B tại chân của một ngọn núi (chân núi có dạng đường tròn tâm $O$, bán kính $3$ km) và một trạm cứu hộ ở vị trí A (tham khảo hình vẽ). Do chưa biết đường đi nào để đến vị trí tai nạn nhanh hơn nên đội cứu hộ quyết định điều hai xe cứu thương cùng xuất phát ở trạm đến vị trí tai nạn theo hai cách sau:
Xe thứ nhất : đi theo đường thẳng từ A đến B, do đường xấu nên vận tốc trung bình của xe là $40$ km/h.
Xe thứ hai: đi theo đường thẳng từ A đến C với vận tốc trung bình $60$ km/h, rồi đi từ C đến B theo đường cung nhỏ CB ở chân núi với vận tốc trung bình $30$ km/h (3 điểm A, O, C thẳng hàng và C ở chân núi). Biết $\widehat{ABO}= 90^{\circ}$ và đoạn đường AC dài $27$ km.
a. Tính độ dài quãng đường xe thứ nhất đi từ A đến B.
b. Nếu hai xe cứu thương xuất phát cùng một lúc tại A thì xe nào thì xe nào đến vị trí tai nạn trước?
Hướng dẫn giải:
a. $OA = AC + R = 27 + 3 = 30$ km.
Xét $\Delta ABO$ vuông tại $B$ có: $AB = \sqrt{OA^2 - OB^2} = \sqrt{30^2 - 3^2} = 9\sqrt{11}$ km.
b.
Thời gian xe thứ nhất đi từ $A$ đến $B$ là: $\dfrac{9\sqrt{11}}{40} \approx 0,75$ (giờ).
Thời gian xe thứ hai đi từ $A$ đến $C$ là: $\dfrac{27}{40} = 0,45$ (giờ).
Xét $\Delta ABO$ vuông tại $B$ có: $\tan \widehat{O} = \dfrac{AB}{OB} = \dfrac{9\sqrt{11}}3 \Rightarrow \widehat{O} \approx 84,3^{\circ}$.
Độ dài đoạn đường từ C đến B là $l = \dfrac{3.\pi.84,3}{180} \approx 4,41$ km.
Thời gian đi từ C đến B là: $\dfrac{4,41}{30} \approx 0,15$ (giờ).
Suy ra thời gian xe thứ hai đi từ A đến B là: $0,45 + 0,15 = 0,6$ giờ.
Vậy xe thứ hai đến điểm tai nạn trước xe thứ nhất.
Cho nửa đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$ và $E$ là điểm tùy ý trên nửa đường tròn đó ($E$ khác $A$, $B$). Lấy điểm $H$ thuộc đoạn $EB$ ($H$ khác $E$, $B$). Tia $AH$ cắt nửa đường tròn tại điểm thứ hai là $F$. Kéo dài tia $AE$ và tia $BF$ cắt nhau tại $I$. Đường thẳng $IH$ cắt nửa đường tròn tại $P$ và cắt $AB$ tại $K$.
a. Chứng minh tứ giác $IEHF$ nội tiếp được đường tròn.
b. Chứng minh $\widehat{AIH} = \widehat{ABE}$.
c. Chứng minh $\cos\widehat{ABP} = \dfrac{PK + BK}{PA + PB}$.
d. Gọi $S$ là giao điểm của tia $BF$ và tiếp tuyến tại $A$ của nửa đường tròn $(O)$. Khi tứ giác $AHIS$ nội tiếp được đường tròn, chứng minh $EF$ vuông góc với $EK$.
Hướng dẫn giải:
a.
Ta có $\widehat{AEB} = 90^{\circ}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
$\Rightarrow \widehat{HEI} = 90^{\circ}$ (kề bù với $\widehat{AEB}$)
Tương tự ta có $\widehat{HFI} = 90^{\circ}$
$\Rightarrow \widehat{HEI} + \widehat{HFI} = 180^{\circ}$
$\Rightarrow IEHF$ nội tiếp đường tròn.
b.
Ta có $\widehat{AIH} = \widehat{AFE}$ (cùng chắn cung EH)
Mà $\widehat{ABE} = \widehat{AFE}$ (cùng chắn cung AE)
$\Rightarrow \widehat{AIH} = \widehat{ABE}$.
c.
Ta có $AF \perp BI$, $BE \perp AI$ nên $H$ là trực tâm $\Delta IAB$.
$\Rightarrow IH \perp AB \Rightarrow PK \perp AB$.
Tam giác $ABP$ vuông tại $P$ có $PK$ là đường cao nên:
$BP.PA = AB.PK$ và $BP^2 = AB.BK$
Suy ra $BP.PA + BP^2 = AB.BK + AB.PK$
$\Leftrightarrow BP.(PA + BP) = AB.(PK + BK)$
$\Leftrightarrow \dfrac{BP}{AB} = \dfrac{PK+BK}{PA+BP}\Rightarrow \cos \widehat{ABP} = \dfrac{PK+BK}{PA+BP}.$
d.
Gọi $S$ là giao điểm của tia $BF$ và tiếp tuyến tại $A$ của nửa đường tròn $(O)$. Khi tứ giác $AHIS$ nội tiếp được đường tròn.
Ta có: $SA // IH$ (cùng vuông góc với $AB$)
$\Rightarrow$ Tứ giác $AHIS$ là hình thang.
Mà tứ giác $AHIS$ nội tiếp được đường tròn suy ra $AHIS$ là hình thang cân.
$\Rightarrow \Delta ASF$ vuông cân tại $F$.
$\Rightarrow \Delta AFB$ vuông cân tại $F$.
Lại có $\widehat{FEB} = \widehat{FAB} = \widehat{BEK} = 45^{\circ}.$
$\Rightarrow \widehat{FEK} = 2\widehat{FEB} = 90^{\circ}.$
$\Rightarrow EF \perp EK.$
Cho các số thực dương $x$, $y$ thỏa mãn $x + y \le 3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$P = \dfrac1{5xy} + \dfrac5{x+2y+5}$
Hướng dẫn giải:
$P = \dfrac1{5xy} + \dfrac5{x+2y+5} = \dfrac1{5xy} + \dfrac5{(x+y)+y+5} \ge \dfrac1{5xy} + \dfrac5{y+8}$
$\Leftrightarrow P \ge \dfrac1{5xy} + \dfrac{xy}{20} + \dfrac5{y+8}+\dfrac{y+8}{20}-\dfrac{xy+y+8}{20}$.
Lại có $\dfrac{xy+y+8}{20} = \dfrac{y(x+1)+8}{20} \le \dfrac{\dfrac{(x+y+1)^2}{4}+8}{20} \le \dfrac35$
Khi đó
$P \ge \left(\dfrac1{5xy}+\dfrac{xy}{20}\right) + \left(\dfrac5{y+8}+\dfrac{y+8}{20}\right)-\dfrac{xy+y+8}{20}$
$\Leftrightarrow P \ge \dfrac15 + 1 -\dfrac35 \Leftrightarrow P \ge \dfrac35$.
Vậy $P_{min} = \dfrac35 \Leftrightarrow x = 1$ và $y=2$.