(Tự luận) Ứng dụng hàm số liên tục SVIP

Hướng dẫn giải:

Đặt $f(x) = 4x^3-8x^2+1$ và $f(x)$ là hàm đa thức nên liên tục trên $\mathbb{R}$ nên $f(x)$ liên tục trên $[-1;2]$.

Ta có $\left\{ \begin{aligned} & f(-1)=-11\\ & f(2)=1 \end{aligned} \right. \Rightarrow f(-1).f(2) = -11 < 0$ nên tồn tại $x_0 \in (-1;2)$ để $f(x_0)=0$.

Do đó phương trình đã cho có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng $(-1;2)$.

Hướng dẫn giải:

Đặt $f(x) = x^3+5x^2-2$ và $f(x)$ là hàm đa thức nên liên tục trên $\mathbb{R}$ nên $f(x)$ liên tục trên $[-1;0]$ và $[0;1]$.

• Ta có $\left\{ \begin{aligned} & f(-1)=2\\ & f(0)=-2 \end{aligned} \right. \Rightarrow f(-1).f(0) = -4 < 0$ nên tồn tại $x_0 \in (-1;0)$ để $f(x_0)=0$.
• Ta có $\left\{ \begin{aligned} & f(1)=4\\ & f(0)=-2 \end{aligned} \right. \Rightarrow f(1).f(0) = -8 < 0$ nên tồn tại $x_0 \in (0;1)$ để $f(x_0)=0$.

Do đó phương trình đã cho có ít nhất 2 nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Đặt $f(x) = (1-m^2)x^5 - 3x - 1$ và $f(x)$ là hàm đa thức nên liên tục trên $\mathbb{R}$ nên $f(x)$ liên tục trên $[-1;0]$.

Ta có $\left\{ \begin{aligned} & f(-1)=m^2+1\\ & f(0)=-1 \end{aligned} \right. \Rightarrow f(-1).f(0) < 0$ nên tồn tại $x_0 \in (-1;0)$ để $f(x_0)=0$.

Do đó phương trình đã cho có ít nhất 1 nghiệm với mọi $m$.