Đặt \(f\left(x\right)=3x^4-3x^3-5x^2+2x+2\)

Hiển nhiên \(f\left(x\right)\) liên tục trên R cũng như mọi khoảng con của nó

\(f\left(-1\right)=1>0\)

\(f\left(-\dfrac{3}{4}\right)=-\dfrac{25}{256}< 0\)

\(f\left(0\right)=2>0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(-1\right).f\left(-\dfrac{3}{4}\right)< 0\\f\left(-\dfrac{3}{4}\right).f\left(0\right)< 0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow f\left(x\right)\) có ít nhất 2 nghiệm thuộc (-1;0) nên có ít nhất 2 nghiệm thuộc (-1;1)

Đặt \(f\left(x\right)=5x^3+\left(2m-1\right)x^2+m+6\)

Hàm số liên tục trên R

\(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}\left(5x^3+\left(2m-1\right)x^2+m+6\right)\)

\(=\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}x^3\left(5+\dfrac{2m-1}{x}+\dfrac{m+6}{x^3}\right)=-\infty< 0\)

\(\Rightarrow\) Luôn tồn tại 1 số thực \(a< 0\) sao cho \(f\left(a\right)< 0\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\left(x^3+\left(2m-1\right)x^2+m+6\right)=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}x^3\left(5+\dfrac{2m-1}{x}+\dfrac{m+6}{x^3}\right)=+\infty.5=+\infty>0\)

\(\Rightarrow\) Luôn tồn tại 1 số thực \(b>0\) sao cho \(f\left(b\right)>0\)

\(\Rightarrow f\left(a\right).f\left(b\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc (a;b) với mọi m

Đặt f(x) = x5 – 3x4 + 5x – 2

f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên R.

Ta có: f(0) = –2 < 0

            f(1) = 1 > 0

            f(2) = -8 < 0

            f(3) = 13 > 0

⇒ f(0).f(1) < 0; f(1).f(2) < 0; f(2).f(3) < 0

⇒ Phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc khoảng (0; 1); 1 nghiệm thuộc khoảng (1; 2); 1 nghiệm thuộc khoảng (2; 3)

⇒ f(x) = 0 có ít nhất 3 nghiệm thuộc (0; 3) hay f(x) = 0 có ít nhất 3 nghiệm thuộc (-2; 5).

Xét hàm số f ( x )   =   x 5   −   5 x   –   1 trên các đoạn [−2; −1], [−1; 0], [0; 3]

Đề bài sai, ví dụ: với \(a=b=1\) thì \(x^2+x-1=0\) có 1 nghiệm thuộc \(\left(0;1\right)\) thỏa mãn yêu cầu

Nhưng \(x^2-2x+1=0\) có nghiệm kép, không phải hai nghiệm phân biệt

Đặt f(x) = x⁵ – 3x⁴ + 5x – 2, ta có:

_ Hàm số f(x) là hàm số đa thức liên tục trên R.

⇒ Hàm số f(x) liên tục trên các đoạn [0, 1], [1, 2], [2, 3] (4)

Từ (1), (2), (3) và (4) ⇒ phương trình x⁵ – 3x⁴ + 5x – 2 = 0 có ít nhất một nghiệm trên mỗi khoảng (0, 1), (1, 2), (2, 3).

Vậy phương trình x⁵ – 3x⁴ + 5x – 2 = 0 có ít nhất ba nghiệm trên khoảng (-2, 5) (đpcm)

Đặt \(f\left(x\right)=x^5-3x^4+5x-2\).
\(f\left(-2\right)=\left(-2\right)^5-3.\left(-2\right)^4+5.\left(-2\right)-2=-56< 0\).
\(f\left(0\right)=-2< 0\).
\(f\left(1\right)=1^5-3.1^4+5.1-2=1>0\).
\(f\left(2\right)=2^5-3.2^4+5.2-2=-8< 0\).
\(f\left(3\right)=3^5-3.3^4+5.3-2=13>0\).
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(0\right).f\left(1\right)< 0\\f\left(1\right).f\left(2\right)< 0\\f\left(2\right).f\left(3\right)< 0\end{matrix}\right.\).
Hàm số đã cho là hàm đa thức nên liên tục trên R.
Suy ra hàm số liên tục trên các đoạn: \(\left[0;1\right];\left[1;2\right];\left[2;3\right]\) nên phương trình \(x^5-3x^4+5x-2=0\) có ít nhất một nghiệm trên các khoảng \(\left(0;1\right);\left(1;2\right);\left(2;3\right)\).

Xét hàm \(f\left(x\right)=m\left(x-1\right)^3\left(x^2-4\right)+x^4-3\)

Hàm \(f\left(x\right)\) là hàm liên tục trên R

\(f\left(1\right)=-2< 0\)

\(f\left(-2\right)=13>0\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=0\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(-2;1\right)\)

\(f\left(2\right)=13>0\Rightarrow f\left(1\right).f\left(2\right)< 0\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=0\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(1;2\right)\)

\(\Rightarrow\) Phương trình đã cho luôn có ít nhất 2 nghiệm với mọi m