Chúng ta cần tìm giá trị nhỏ nhất (m) và giá trị lớn nhất (M) của biểu thức \( M = \sin^4(x) + \cos^4(x) \), sau đó tính giá trị của \( P = 2m + M^2 + 2024 \).

**Bước 1: Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức \( M \)**

Sử dụng đồng nhất thức cơ bản:
\[ \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \]
Và:
\[ \sin^4(x) + \cos^4(x) = (\sin^2(x) + \cos^2(x))^2 - 2\sin^2(x)\cos^2(x) \]
\[ = 1 - 2\sin^2(x)\cos^2(x) \]

Sử dụng tiếp đồng nhất thức:
\[ \sin^2(x)\cos^2(x) = \left(\frac{\sin(2x)}{2}\right)^2 = \frac{\sin^2(2x)}{4} \]

Do đó:
\[ M = 1 - 2\cdot\frac{\sin^2(2x)}{4} = 1 - \frac{\sin^2(2x)}{2} \]

**Bước 2: Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của \( M = 1 - \frac{\sin^2(2x)}{2} \)**

Biểu thức \(\sin^2(2x)\) có giá trị từ 0 đến 1, do đó:
\[ 0 \leq \sin^2(2x) \leq 1 \]

Áp dụng vào biểu thức \( M \):
\[ M = 1 - \frac{\sin^2(2x)}{2} \]
Khi \(\sin^2(2x) = 0\):
\[ M = 1 - 0 = 1 \]

Khi \(\sin^2(2x) = 1\):
\[ M = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \]

Vậy:
\[ m = \frac{1}{2} \]
\[ M = 1 \]

**Bước 3: Tính giá trị của \( P \)**

\[ P = 2m + M^2 + 2024 \]
\[ P = 2 \cdot \frac{1}{2} + 1^2 + 2024 \]
\[ P = 1 + 1 + 2024 \]
\[ P = 2026 \]

Vậy, giá trị của \( P \) là \( 2026 \). Nếu bạn có thêm bất kỳ câu hỏi nào hoặc cần hỗ trợ thêm, đừng ngần ngại hỏi nhé! 😊

 Công bố danh sách các thí sinh đạt giải cuộc thi học cùng Olm mỗi ngày học giỏi học hay

Cô Thương Hoài thân ái chào toàn thể các học viên Olm. Trải qua nhiều tháng thi cử và các trận đấu IQ đầy kịch tính cũng như phần thi tài năng giúp đánh thức năng khiếu tiềm ẩn trong học sinh mà phụ huynh chưa từng nhận ra. Đến nay cuộc thi đã thành công tốt đẹp, ban tổ chức xin gửi lời cảm ơn tới quý phụ huynh, nhà trường, các em học sinh toàn quốc, lời cảm ơn chân thành về sự tham gia nhiệt tình, trung thực của các em. Cũng như sự cổ vũ quan tâm của phụ huynh, nhà trường. Ban tổ chức xin gửi kết quả cuộc thi và danh sách thí sinh đạt giải. Trân trọng và cảm ơn tất cả. Hẹn gặp lại các thí sinh vào mùa giải năm sau 2025. Danh sách đã được giám đốc phê duyệt và ký ngày 09 tháng 10 năm 2024. Danh sách có hiệu lực kể từ ngày ký.