\(x-y=-3\Leftrightarrow x+3=y\)

\(P=x^2\left(x+3\right)+y^2-x^2y-xy+x-4y+2003=\)

\(=x^2y+y^2-x^2y-xy+x-4y+2023=\)

\(=y^2-xy-3y+x-y+2023=\)

\(=y^2-y\left(x+3\right)+x-y+2003=\)

\(=y^2-y^2+\left(x-y\right)+2023=-3+2023=2000\)

Đề bài sai, sửa thành c/m \(\sin^2\alpha=\dfrac{1}{1+\cot^2\alpha}\)

\(\dfrac{1}{1+\cot^2\alpha}=\dfrac{1}{1+\dfrac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}}=\dfrac{1}{\dfrac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha}}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{\sin^2\alpha}}=\sin^2\alpha\)

Tổng 5 số là \(5x138=690\)

Tổng 3 số đầu là \(3x127=381\)

Tổng 3 số cuối là \(3x148=444\)

Số đứng giữa là \(\left(381+444\right)-690=135\)

a/

Xét tg vuông ABH

\(BH=\sqrt{AB^2-AH^2}\left(Pitago\right)\)

\(\Rightarrow BH=\sqrt{5^2-4^2}=3cm\)

Xét tg cân ABC có

\(AH\perp BC\)

\(\Rightarrow BH=CH\) (Trong tg cân đường cao xuất phát từ đỉnh tg cân đồng thời là đường trung tuyến)

\(\Rightarrow BC=BH+CH=2BH=2.3=6cm\)

b/

Ta có

AD=AE (gt); AB=AC (cạnh bên tg cân) 

BD=AB-AD; CE=AC-AE

=> BD=CE (1)

\(\Rightarrow\dfrac{AD}{BD}=\dfrac{AE}{CE}\) => DE//BC (Talet đảo) (2)

Từ (1) và (2) => DECB là hình thang cân

Xét tg DBC và tg ECB có

BD=CE (cmt); BC chung; \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (góc ở đáy tg cân)

=> tg DBC = tg ECB (c.g.c) \(\Rightarrow\widehat{BCD}=\widehat{CBE}\) => tg OBC cân tại O

=> OB=OC

c/

Xét tg cân ABC có \(AH\perp BC\left(gt\right)\)

=> AH là đường phân giác của \(\widehat{A}\) (trong tg cân đường cao xp từ đỉnh tg cân đồng thời là đường phân giác của góc ở đỉnh tg cân)

Nối AM; Xét tg ADE có

AD=AE (gt) => tg ADE cân tại A

MD=ME (gt)

=> AM là đường phân giác của góc \(\widehat{A}\) (trong tg cân đường trung tuyến xp từ đỉnh tg cân đồng thời là đường phân giác của góc ở đỉnh tg cân)

Nối AO ta có

tg DBC = tg ECB (cmt) => BE=CD

OB=OC (cmt)

OD=CD-OC; OE=BE-OB

=> OD=OE

Xét tg AOD và tg AOE có

AD=AE (gt); OD=OE (cmt); AO chung => tg AOD = tg AOE (c.c.c)

\(\Rightarrow\widehat{BAO}=\widehat{CAO}\) => AO là phân giác của \(\widehat{A}\)

Ta có AM; AO; AH đều là phân giác của \(\widehat{A}\Rightarrow AM\equiv AO\equiv AH\)

=> A, M, O, H thẳng hàng

a/ 

MN//BC => BCMN là hình thang

Xét tg ABC có

AM=CM (gt) (1); MN//BC => AN=BN (2) (Trong tg đường thẳng đi qua trung điểm 1 cạnh và // với 1 cạnh thì đi qua trung điểm cạnh còn lại)

Ta có AB=AC (cạnh bên tg cân) (3)

Từ (1) (2) (3)

=> BCMN là hình thang cân

b/

Xét tg ABC có

AM=CM (gt); BP=CP (gt) => MP là đường trung bình của tg ABC

=> MP//AB => MP//BN

và \(MP=\dfrac{AB}{2}=BN\)

=> BPMN là hbh (Tứ giác có 1 cặp cạnh đối // và băng nhau là hbh)

Hiệu 2 số là

17,86-9,32=8,54

Khi bớt cùng 1 số A ở 2 số trên thì hiệu của chúng không thay đổi

chia số lớn mới thành 3 phần bằng nhau thì số nhỏ mới là 1 phần như thế

Hiệu số phần bằng nhau là

3-1=2 phần

Giá trị 1 phần hay số nhỏ mới là

8,54:2=4,27

Số A là

9,32-4,27=5,05

a/

\(\widehat{BDC}=90^o\) (góc nt chắn nửa đường tròn) \(\Rightarrow CD\perp AB\)

\(\widehat{BEC}=90^o\) (góc nt chắn nửa đường tròn) \(\Rightarrow BE\perp AC\)

b/

\(CD\perp AB\left(cmt\right);BE\perp AC\left(cmt\right)\) => K là trực tâm tam giác ABC

\(\Rightarrow AK\perp BC\) (Trong tg 3 đường cao đồng quy)

GT: a//b; \(c\perp a\)

KL: \(c\perp b\)

CM:

\(c\perp a\left(gt\right)\Rightarrow\widehat{cMa}=90^o\)

a//b \(\Rightarrow\widehat{cNb}=\widehat{cMa}=90^o\) (góc đồng vị) \(\Rightarrow c\perp b\)

Gọi số cần tìm là A thì

\(A+31⋮9;A+31⋮25\)

\(100\le A\le999\Rightarrow131\le A+31\le1030\)

\(\Rightarrow A+31=BC\left(9;25\right)=\left\{225;450;675;900\right\}\)

\(\Rightarrow A=\left\{194;419;644;869\right\}\)

\(\dfrac{x}{y}=\dfrac{y}{10}=\dfrac{10}{x}=\dfrac{x+y+10}{y+10+x}=1\)

\(\Rightarrow x=y=10\)