Đề và đáp án tuyển sinh vào lớp 10 tỉnh Vĩnh Phúc năm 2022 - 2023 SVIP

Hướng dẫn giải:

Ta có: $a-b+c=1-(-5)+6=0$

Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là $x_{1}=-1 ; x_{2}=6$.

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}2 x+y=3 \\ 3 x+2 y=4\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}4 x+2 y=6 \\ 3 x+2 y=4\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=2 \\ 3.2+2 y=4\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=2 \\ y=-1\end{array}\right.\right.\right.\right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là $(x ; y)=(2 ;-1)$.

Hướng dẫn giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của $d$ và $(P)$ là:

$x^{2}=-2 x+m-1 \Leftrightarrow x^{2}+2 x-m+1=0 \quad(1)$

Để $d$ và $(P)$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

$\Delta^{\prime}>0 \Leftrightarrow 1^{2}-1 .(-m+1)>0 \Leftrightarrow m>0$

Theo Vi - ét ta có: $\left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}=-2 \\ x_{1} x_{2}=-m+1\end{array}\right.$

Vì $A, B$ là 2 điểm thuộc $d$ nên ta có $y_{1}=-2 x_{1}+m-1 ; y_{2}=-2 x_{2}+m-1$ thay vào đề bài ta được:

$ \begin{aligned} & \left(y_{1}+y_{2}\right)^{2}=110-x_{1}^{2}-x_{2}^{2} \\ \Leftrightarrow & \left(-2 x_{1}+m-1-2 x_{2}+m-1\right)^{2}=110-x_{1}^{2}-x_{2}^{2} \\ \Leftrightarrow & {\left[-2\left(x_{1}+x_{2}\right)+2 m-2\right]^{2}-110+x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=0 } \\ \Leftrightarrow & {\left[-2\left(x_{1}+x_{2}\right)+2 m-2\right]^{2}-110+\left(x_{1}+x_{2}\right)^{2}-2 x_{1} x_{2}=0 } \end{aligned} $

Thay $\left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}=-2 \\ x_{1} x_{2}=-m+1\end{array}\right.$ vào phương trình trên ta được:

$ \begin{aligned} & (4+2 m-2)^{2}-110+(-2)^{2}-2(-m+1)=0 \\ \Leftrightarrow & (2 m+2)^{2}+2 m-108=0 \\ \Leftrightarrow & 4 m^{2}+10 m-104=0 \\ \Leftrightarrow & 2 m^{2}+5 m-52=0 \end{aligned} $

Ta có: $\Delta_{m}=441>0 \Rightarrow\left[\begin{array}{l}m_{1}=4(T M D K) \\ m_{2}=\frac{-13}{2}(L)\end{array}\right.$

Vậy với $m=4$ thì đường thẳng $d$ cắt Parabol $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A, B$ thỏa mãn đề bài.

Hướng dẫn giải:

Gọi số bộ quần áo phân xưởng may được theo kế hoạch là $x\left(x \in \mathbb{N}^{*} ; x<900\right)$

Thực tế mỗi ngày phân xưởng may được $x+10$ bộ

Theo kế hoạch thời gian phân xưởng hoàn thành 900 bộ là $\frac{900}{x}$ ngày

Thực tế thời gian phân xưởng hoàn thành 900 bộ là $\frac{900}{x+10}$ ngày

Theo đề bài, do hoàn thành sớm hơn kế hoạch 3 ngày nên ta có phương trình:

$$ \begin{aligned} & \frac{900}{x}-\frac{900}{x+10}=3 \\ \Leftrightarrow & 900(x+10)-900 x=3 x(x+10) \\ \Leftrightarrow & x^{2}+10 x-3000=0 \\ \Delta^{\prime}= & 3025>0 \Rightarrow\left[\begin{array}{l} x_{1}=50(T M Đ K) \\ x_{2}=-60(L) \end{array}\right. \end{aligned} $$

Vậy theo kế hoạch mỗi ngày phân xưởng may được 50 bộ quần áo.

Hướng dẫn giải:

a) Do $B E \perp A C \Rightarrow \widehat{B E C}=90^{\circ}$

$C F \perp A B \Rightarrow \widehat{B F C}=90^{\circ}$

Tứ giác $B C E F$ có $\widehat{B E C}=\widehat{B F C}=90^{\circ}$ nên $B C E F$ nội tiếp đường tròn

b) Xét $\triangle A D B$ và $\triangle A K C$ ta có:

$\begin{aligned}& \widehat{A D B}=\widehat{A C K}=90^{\circ} \\& \widehat{A B D}=\widehat{A K C}\left(=\frac{1}{2} \text { sđ } \overparen{A C}\right)\end{aligned}$

$\Rightarrow \triangle A B D \backsim \triangle A K C(g-g)$

Xét tứ giác $A D M C$ có: $\widehat{A D C}=\widehat{A M C}\left(=90^{\circ}\right) \Rightarrow A D M C$ là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{A M D}=\widehat{A C D}\left(=\frac{1}{2} \mathrm{~s} \overparen{A D}\right)$

Mà tứ giác $A B K C$ nội tiếp đường tròn $(O)$

$\Rightarrow \widehat{A K B}=\widehat{A C D}=\widehat{A C B}\left(=\frac{1}{2} \overparen{A B}\right)$

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{A M D}=\widehat{A K B}$

Mà 2 góc ở vị trí đồng vị nên $M D / / B K$.

c) Gọi giao điểm của $M F$ và $B C$ là $I$.

Ta có: $\widehat{A B K}=90^{\circ} \Rightarrow B K \perp A B$

Mà $C F \perp A B \Rightarrow B K / / C F$

Mặt khác $B K / / D M \Rightarrow D M / / C F \Rightarrow \widehat{M D C}=\widehat{C D F}$

Tứ giác $A D M C$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{M D C}=\widehat{M A C}$

Tứ giác $A F M C$ nội tiếp $\Rightarrow \widehat{M A C}=\widehat{M F C}$

Từ (3), (4) và (5) suy ra $\widehat{D C F}=\widehat{M F C}$ hay $\widehat{I C F}=\widehat{I F C}$

Suy ra tam giác $I F C$ cân tại $I \Rightarrow I F=I C$

Ta lại có: $\widehat{I F C}+\widehat{I F B}=90^{\circ} ; \widehat{I B F}+\widehat{I C F}=90^{\circ} \Rightarrow \widehat{I F B}=\widehat{I B F}$

Suy ra tam giác $B F I$ cân tại $I \Rightarrow I B=I F$

Từ (6) và (7) suy ra $I B=I C$ hay $I$ là trung điểm của $B C$ cố định

Vậy $M F$ luôn đi qua điểm cố định là trung điểm của $B C$

+) Ta có $B H C K$ là hình hình hanfh, mà $I$ là trung điểm của $B C$ nên $I$ là trung điểm của $H K$

Lại có $O$ là trung điểm của $A K$ suy ra $O I$ là đường trung bình của tam giác $A H K \Rightarrow O I=\frac{1}{2} A H$

Ta có $S_{A H E}=\frac{1}{2} H E \cdot A E \leq \frac{1}{2} \cdot \frac{H E^{2}+A E^{2}}{2}=\frac{1}{4} A H^{2}=O I^{2}$

Dấu "=" xảy ra khi $A E=H E \Leftrightarrow \triangle A H E$ vuông cân tại $E$

$\Rightarrow \widehat{A H E}=45^{\circ} \Rightarrow \widehat{A C B}=45^{\circ}$ (cùng bù với $\widehat{E H D}$ )

Vậy diện tích tam giác $A E H$ lớn nhất bằng $O I^{2}$.

Hướng dẫn giải:

Đặt $A=\dfrac{y z}{x^{2}+x y z}+\dfrac{z x}{y^{2}+x y z}+\dfrac{x y}{z^{2}+x y z}$

Ta có: $\dfrac{y z}{x^{2}+y z}=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+y z}=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x(x+y+z)+y z}=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{(x+y)(y+z)}$

Tương tự, ta có: $\dfrac{y z}{y^{2}+x y z}=\dfrac{1}{y}-\dfrac{1}{(y+z)(y+x)}$

$\dfrac{x y}{z^{2}+x y z}=\dfrac{1}{z}-\dfrac{1}{(z+x)(z+y)}$

Ta có:

$\begin{aligned} A & =\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}-\left[\dfrac{1}{(x+y)(x+z)}+\dfrac{1}{(y+x)(y+z)}+\dfrac{1}{(z+y)(z+x)}\right] \\ & =\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{x}-\dfrac{2}{(x+y)(y+z)(z+x)} \end{aligned} $

Mà $(x+y)(y+z)(z+x) \geq \dfrac{8}{9}(x+y+z)(x y+y z+z x)=\dfrac{8}{9}(x y+y z+z x)$

$ \begin{aligned} & (x y+y z+z x)^{2} \geq 3 x y z(x+y+z)=3 x y z \\ \Rightarrow & (x y+y z+z x) \geq \dfrac{3 x y z}{x y+y z+z x} \end{aligned} $

Từ (1) và (2) ta có: $(x+y)(y+z)(z+x) \geq \dfrac{8}{9} \cdot \dfrac{3 x y z}{x y+y z+z x}=\dfrac{8}{3} \cdot \dfrac{x y z}{x y+y z+z x}$

Suy ra $A \geq \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}-2 \cdot \dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{x y+y z+z x}{x y z}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}-\dfrac{3}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)=\dfrac{1}{4 x}+\dfrac{1}{4 y}+\dfrac{1}{4 z}$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=\dfrac{1}{3}$.