Đề thi thử trường THCS & THPT Lương Thế Vinh - Hà Nội 2022-2023 SVIP

Hướng dẫn giải:

a) Thay $x=\dfrac{1}{4}(\text{tm})$ ta có:

$A=\dfrac{\dfrac{1}{4}-16}{\sqrt{\dfrac{1}{4}}-2}=\dfrac{\dfrac{-63}{4}}{\dfrac{-3}{2}}=\dfrac{21}{2}$.

b) $B=\dfrac{2 \sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-4}+\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+4}-\dfrac{3 x+\sqrt{x}-4}{x-16}$

$=\dfrac{(2 \sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+4)+\sqrt{x}(\sqrt{x}-4)-(3 x+\sqrt{x}-4)}{(\sqrt{x}-4)(\sqrt{x}+4)}$

$=\dfrac{2 x+7 \sqrt{x}-4+x-4 \sqrt{x}-3 x-\sqrt{x}+4}{(\sqrt{x}-4)(\sqrt{x}+4)}$

$=\dfrac{2 \sqrt{x}}{(\sqrt{x}-4)(\sqrt{x}+4)}$

c) $P=A . B=\dfrac{2 \sqrt{x}}{(\sqrt{x}-4)(\sqrt{x}+4)} . \dfrac{x-16}{\sqrt{x}-2}=\dfrac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}$ 

$|P-1|>P-1 \Leftrightarrow P-1<0 \Leftrightarrow P<1$

$\Leftrightarrow \dfrac{2 \sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}<1 \Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2}<0 \Leftrightarrow \sqrt{x}-2<0 \Leftrightarrow 0 \leq x<4$

Mà $x \in Z \Rightarrow x \in\{0 ; 1 ; 2 ; 3\}$.

Hướng dẫn giải:

1) Điều kiện $x>\dfrac{1}{2}$
Giải hệ tìm được ${x}=5, {y}=2$ (tmđk)

2) TH1: $m=0$ : hệ trở thành: $\left\{\begin{aligned}2 x=1 \\ x+y=4\end{aligned} \Leftrightarrow\left\{\begin{aligned}x=\dfrac{1}{2} \\ y=\dfrac{7}{2}\end{aligned}\right.\right.$ (không thỏa mãn điều kiện)

TH2: $m \neq 0$ : hệ có nghiệm duy nhất khi : $\dfrac{1}{2} \neq \dfrac{m-1}{m} \Leftrightarrow m \neq 2$ :

- Tìm được nghiệm duy nhất $\left\{\begin{aligned}x=\dfrac{4 m-1}{m-2} \\ y=\dfrac{-7}{m-2}\end{aligned}\right.$

- Để các nghiệm là số nguyên, tìm được $m \in\{1 ; 3 ;-5 ; 9\}$.

Hướng dẫn giải:

1a) Vì hai đường thẳng luôn cùng đi qua $P(0;4)$ nên suy ra đpcm.

1b)

+) $\left(d_1\right)$ và $\left(d_2\right)$ cắt nhau tại $P(0 ; 4)$, ta có $O P=|4|=4$

+) $\left(d_1\right)$ cắt ${Ox}$ tại $A(4 ; 0)$, với $m \neq 2,\left(d_2\right)$ cắt ${Ox}$ tại $B\left(\dfrac{-4}{m-2} ; 0\right) \Rightarrow A B=\left|4+\dfrac{4}{m-2}\right|$

+Ta có $S_{\triangle P A B}=\dfrac{1}{2} . O P . A B=\dfrac{1}{2} . 4 .\left|4+\dfrac{4}{m-2}\right|=2\left|4+\dfrac{4}{m-2}\right|$

+Theo đề bài: $2\left|4+\dfrac{4}{m-2}\right|=6 \Rightarrow\left[\begin{array}{l}m=-2 \\ m=\dfrac{10}{7}\end{array}\right.$

2) - Vì tam giác ${ABC}$ vuông tại ${A}$ nên ta có: $\sin C=\dfrac{A B}{B C}=\dfrac{10}{100}=\dfrac{1}{10}$

- Suy ra góc nghiêng khoảng $5,7^{\circ}$.

Hướng dẫn giải:

a) - Vì $PA$ là tiếp tuyến của $({O})$ nên $A P \perp O A$.

- Tam giác $APO$ vuông tại ${A}$ nên nội tiếp đường tròn đường kính $OP$ $(1)$

- Vì $P M$ là tiếp tuyến của $({O})$ nên $P M \perp O M$.

- Tam giác $MPO$ vuông tại ${M}$ nên nội tiếp đường tròn đường kính $ {OP}$ $(2)$

- Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $4$ điểm $ {A},  {P},  {M}, {O}$ cùng thuộc đường tròn đường kính $ {OP}$.

b) - Cm được $O P \perp A M,\, O Q \perp B M$

- Tam giác $M A B$ nội tiếp đường tròn đk ${AB}$ nên vuông tại ${M}$.

- Tứ giác $MIOK$ có $3$ góc vuông nên là hình chữ nhật.

- Tính được $A P . B Q=P M . Q M=R^2$

c) -  Kẻ $M N \perp A B$ tại $ {H}$, chứng minh được $ {N}$ là trung điềm của $ {MH}$

- Chứng minh được $\dfrac{S_{\triangle A B N}}{S_{\triangle A B M}}=\dfrac{1}{2}$

Hướng dẫn giải:

- Ta có $P=(x+y)^2-3 x y$

- Mà $x y \geq 0 \Rightarrow P \leq 225$, đạt được khi $x=0 ; y=15$

- Mặt khác theo AM-GM:

$3 x+2 y \geq 2 \sqrt{3 x . 2 y} \Rightarrow \sqrt{6 x y} \leq \dfrac{3 x+2 y}{2}=\dfrac{2(x+y)+x}{2} \leq \dfrac{2.15+6}{2}=18$

$\Rightarrow 6 x y \leq 324 \Rightarrow x y \leq 54 \Rightarrow P \geq \text {, đạt được khi } x=6 ; y=9$