\(Ta có: a+b+c=0 ⇔(a+b)^5=(−c)^5 ⇔a^5+5a^4b+10a^3b^2+10a^2b^3+5ab^4+b^5=−c5 \)

\(⇔a^5+b^5+c^5=−5ab(a^3+2a^2b+2ab^2+b^3)\)

\(⇔a^5+b^5+c^5=−5ab[(a+b)(a^2−ab+b^2)+2ab(a+b)]\)

\(⇔2(a^5+b^5+c^5)=5abc[a^2+b^2+(a^2+2ab+b^2)]\)

\(⇔2(a^5+b^5+c^5)=5abc(a^2+b^2+c^2)\)(đpcm)

Ko mất tính tổng quát giả sử \(a_1=\text{max}\left\{a_2;a_3;a_4;a_5\right\}\).

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(a_1a_2+a_2a_3+a_3a_4+a_4a_5\le a_1\left(a_2+a_3+a_4+a_5\right)\)

\(\le\frac{\left(a_1+a_2+a_3+a_4+a_5\right)^2}{4}=\frac{1}{4}\)

Xảy ra khi có 2 số bằng \(\frac{1}{2}\) và 3 số còn lại bằng 0

Ta có : \(10< a_1< a_2< a_3< a_4< a_5< a_6< a_7< 100\)

Nếu bất kì ba đoạn thẳng nào cũng không thể lập thành một tam giác thì :

 \(a_3\ge a_1+a_2\ge10+10=20\)

\(a_4\ge a_2+a_3\ge10+20=30\)

\(a_5\ge a_3+a_4\ge20+30=50\)

\(a_6\ge a_4+a_5\ge30+50=80\)

\(a_7\ge a_5+a_6\ge50+80=130\)(vô lí)

Vậy tồn tại một cặp gồm 3 đoạn thẳng có thể tạo thành một tam giác.

Khó nhỉ :))

HS tự làm

Tính chất: \(n^{4k+1}\) luôn cùng chữ với tận cùng với n

Do đó \(a^5\) cùng số tận cùng với a; \(b^5\) cùng số tận cùng với b, \(c^5\) cùng số tận cùng với c

\(\Rightarrow S\) cùng chữ số tận cùng với \(a+b+c\)

\(\Rightarrow S\) có tận cùng là 1

CM  tính chất \(n^{4k+1}\) luôn cùng chữ với tận cùng với n đc ko ạ

Lấy a.(a+1) rồi đặt số 25 ra sau ta được số \(\overline{a5}^2\)
VD: \(15^2\)= 225 ( a=1)
\(25^2\)=625
\(55^2\)=3025 ( a= 5)