`Answer:`

Gọi \(ƯC\left(2n+7;5n+17\right)=d\left(d\inℤ\right)\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2n+7⋮d\\5n+17⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}5\left(2n+7\right)⋮d\\2\left(5n+17\right)⋮d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}10n+35⋮d\\10n+34⋮d\end{cases}}\)

Lập hiệu: \(\left(10n+35\right)-\left(10n+34\right)\)

\(=10n+35-10n-34\)

\(=\left(10n-10n\right)+\left(35-34\right)\)

\(=1\)

\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d\inƯ\left(1\right)=\left\{\pm1\right\}\)

Vậy phân số `\frac{2n+7}{5n+17}` tối giản với mọi `n\inNN`

Lời giải:

a. Gọi $d$ là ƯCLN $(n+3, 2n+7)$

$\Rightarrow n+3\vdots d$ và $2n+7\vdots d$

$\Rightarrow 2n+7-2(n+3)\vdots d$

Hay $1\vdots d$

$\Rightarrow d=1$

Vậy $n+3, 2n+7$ nguyên tố cùng nhau, nên $\frac{n+3}{2n+7}$ tối giản.

b.

Gọi $d$ là ƯCLN $(4n+6, 6n+7)$

$\Rightarrow 4n+6\vdots d; 6n+7\vdots d$

$\Rightarrow 3(4n+6)-2(6n+7)\vdots d$
$\Rightarrow 4\vdots d$

Mặt khác, vì $6n+7\vdots d$ mà $6n+7$ lẻ nên $d$ lẻ.

$\Rightarrow d=1$

$\Rightarrow \frac{4n+6}{6n+7}$ tối giản.

Chọn C

b1 : 

a, gọi d là ƯC(2n + 1;2n +2) 

=> 2n + 1 chia hết cho d và 2n + 2 chia hết cho d

=> 2n + 2 - 2n - 1 chia hết cho d

=> 1 chia hết cho d

=> d = 1

=> 2n+1/2n+2 là ps tối giản

Bài 1: Với mọi số tự nhiên n, chứng minh các phân số sau là phân số tối giản:

A=2n+1/2n+2

Gọi ƯCLN của chúng là a 

Ta có:2n+1 chia hết cho a

           2n+2 chia hết cho a

- 2n+2 - 2n+1 

- 1 chia hết cho a

- a= 1

  Vậy 2n+1/2n+2 là phân số tối giản

B=2n+3/3n+5

Gọi ƯCLN của chúng là a

2n+3 chia hết cho a

3n+5 chia hết cho a

Suy ra 6n+9 chia hết cho a

            6n+10 chia hết cho a

6n+10-6n+9

1 chia hết cho a 

Vậy 2n+3/3n+5 là phân số tối giản

Mình chỉ biết thế thôi!

#hok_tot#

Giải: Đặt: (2n^2 + 3n + 1 ; 3n + 2 ) = d

=> \(\hept{\begin{cases}2n^2+3n+1⋮d\\3n+2⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}3\left(2n^2+3n+1\right)⋮d\\2n\left(3n+2\right)⋮d\end{cases}}\)

=> 3 ( 2n^2 + 3n + 1 ) - 2n ( 3n + 2 ) \(⋮\)d

=> 5n + 3 \(⋮\)d 

=> ( 5n + 3 ) - ( 3n + 2 ) \(⋮\)d

=> 2n + 1 \(⋮\)d 

=> (3n + 2 ) - (2n + 1) \(⋮\)d

=> n + 1 \(⋮\)d

=> ( 2n + 1 ) - ( n + 1) \(⋮\)d

=> n \(⋮\)d 

=> ( n +1 ) - n \(⋮\)d

=> 1 \(⋮\)d  => d = 1

=> ( 2n^2 + 3n + 1 ; 3n + 2 ) =1

=> ( 2n^2 + 3n + 1) / ( 3n + 2 ) là phân số tối giản với mọi số tự nhiên n. 

Xét\(12n+1=12n+24-23=12\left(n+2\right)-23\)

\(\Rightarrow\frac{12n+1}{2n\left(n+2\right)}=\frac{12\left(n+2\right)-23}{2n\left(n+2\right)}=\frac{12\left(n+2\right)}{2n\left(n+2\right)}-\frac{23}{2n\left(n+2\right)}=\frac{6}{n}-\frac{23}{2n\left(n+2\right)}\)

Xét\(\frac{23}{2n\left(n+2\right)}\)ta có:

\(2n\left(n+2\right)⋮2\)

=> \(2n\left(n+2\right)\)là số chẵn

mà 23 là số lẻ

\(\Rightarrow\frac{23}{2n\left(n+2\right)}\)Tối giản

\(\Rightarrow\frac{6}{n}-\frac{23}{2n\left(n+2\right)}\)tối giản

Vậy \(\frac{12n+1}{2n\left(n+2\right)}\)Tối giản (ĐPCM)

Gọi ƯCLN(2n+1005;4n+2011)=d(\(d\in\)N*) 

\(\Rightarrow2n+1005⋮d\Rightarrow4n+2010⋮d\Rightarrow4n+2011-4n-2010⋮d\Leftrightarrow1⋮d\Leftrightarrow d=1\)

Vậy ta có đpcm 

gọi d là ƯC(2n+1005,4n+2011)(d\(\in\)N*) 

theo bài ra ta có 

2n+1005\(⋮\)d\(\Rightarrow\)2(2n+1005)\(⋮\)d\(\Rightarrow\)4n+2010\(⋮\)d

4n+2011\(⋮\)d

\(\Rightarrow\)(4n+2011)-(4n+2010)\(⋮\)d

\(\Rightarrow\)4n+2011-4n+2010\(⋮\)d

\(\Rightarrow\)1\(⋮\)d

\(\Rightarrow\)d=1

vậy với mọi n \(\in\)N thì \(\dfrac{2n+1005}{4n+2011}\) là phân số tối giản