Ta có : \(\sqrt{2}\)là số vô tỉ

\(\sqrt{3}\)là số vô tỉ

\(\Rightarrow\sqrt{2}+\sqrt{3}\)là số vô tỉ ( đpcm ) 

b) tương tự :

 \(\hept{\begin{cases}\sqrt{2}vôti\\\sqrt{3}vôti\\\sqrt{5}vôti\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}\)vô tỉ

c) \(\sqrt{2}\)là số vô tỉ nên \(1+\sqrt{2}\)là số vô tỉ

\(\Rightarrow\sqrt{1+\sqrt{2}}\)là số vô tỉ

d) \(\sqrt{3}\)là số vô tỉ\(\Rightarrow\frac{\sqrt{3}}{n}\)là số vô tỉ

\(\Rightarrow m+\frac{\sqrt{3}}{n}\)là số vô tỉ

a) Bằng phản chứng giả sử \(\sqrt{2}\)là số hữu tỉ

---> Đặt \(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\)với ƯCLN(a,b)=1 (tức là a/b tối giản), a,b>0

\(\Rightarrow b\sqrt{2}=a\Rightarrow2b^2=a^2\Rightarrow a^2\)là số chẵn \(\Rightarrow a\)là số chẵn

Đặt \(a=2k\Rightarrow b\sqrt{2}=2k\Rightarrow2b^2=4k^2\Rightarrow b^2=2k^2,k\inℕ\)

\(\Rightarrow b^2\)là số chẵn\(\Rightarrow b\)là số chẵn

Vậy \(2\inƯC\left(a,b\right)\RightarrowƯCLN\left(a,b\right)\ne1\)---> Mâu thuẫn giả thiết--->đpcm

b) Bằng phản chứng giả sử \(3\sqrt{3}-1\)là số hữu tỉ

---> Đặt \(3\sqrt{3}-1=\frac{a}{b}\)với ƯCLN(a,b)=1 và a,b>0

\(\Rightarrow3b\sqrt{3}=a+b\Rightarrow27b^2=\left(a+b\right)^2\Rightarrow\left(a+b\right)^2⋮9\Rightarrow a+b⋮3\)

Đặt \(a+b=3k,k\inℕ\Rightarrow a=3k-b\Rightarrow\frac{3k-b}{b}=3\sqrt{3}-1\Rightarrow\frac{3k}{b}=3\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow k^2=3b^2\Rightarrow k^2⋮3\Rightarrow k⋮3\)---> Đặt \(k=3l,l\inℕ\Rightarrow a=9l-b\Rightarrow\frac{9l-b}{b}=3\sqrt{3}-1\Rightarrow\frac{9l}{b}=3\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow b^2=3l^2\Rightarrow b^2⋮3\Rightarrow b⋮3\)

\(\Rightarrow3\inƯC\left(a,b\right)\RightarrowƯCLN\left(a,b\right)\ne1\)---> Mâu thuẫn giả thiết---> đpcm

(Bài dài quá, giải mệt vler !!)

Nếu \(\sqrt{2}\)là số hữu tỉ thì

Ta có\(\sqrt{2}=\frac{a}{b}\)

\(\Rightarrow2=\left(\frac{a}{b}\right)^2=\frac{a^2}{b^2}\)

Suy ra được \(a^2=2b^2\)

Đặt \(a=2k\)

Suy ra \(\left(2k\right)^2=2b^2=2k^2\)

Suy ra b là số chẵn

Suy ra a,b ko phải là 2 số nguyên tố cùng nhau 

Suy ra Giả sử sai

Vậy \(\frac{a}{b}\)là số vô tỉ

Giả sử \(\sqrt{2}\) là số hữu tỉ

\(\Rightarrow\sqrt{2}=\frac{a}{b}\left(a,b\in Q;b\ne0;\left(a,b\right)=1\right)\)

\(\Rightarrow2=\frac{a^2}{b^2}\Rightarrow a^2=2b^2\)

Vì \(\frac{a}{b}\)là số hữu tỉ \(\Rightarrow a^2⋮2\Rightarrow a⋮2\left(1\right)\)

=> a = 2k (k thuộc Q) => a² = 4k²

Ta có: a² = 2b² => 4k² = 2b² => 2k² = b² => \(b^2⋮2\Rightarrow b⋮2\) (2)

Từ (1) và (2) => (a,b) khác 1 => trái với giả sử

Vậy...

Đặt: \(\sqrt{2}=\frac{m}{n}\)

=> \(\frac{m^2}{n^2}=2\)

=> \(m^2=2n^2\)

=> \(m^2\) chia hết cho \(2\). Mà 2 là số nguyên tố nên => \(m\) chia hét cho 2

Đặt: \(m=2k\)

=> \(\frac{m^2}{n^2}=\frac{4k^2}{n^2}=2\)

=> \(4k^2=2n^2\)

=> \(n^2=2k^2\)

=> \(n^2\) chia hết cho 2. Mà 2 là số nguyên tố nên n chia hết cho 2.

Ta có \(\sqrt{2}=\frac{m}{n}=\frac{2a}{2b}\) không tối giản nên \(\sqrt{2}\) là số vo tỉ.

Các câu sau tương tự

Mình dùng phương pháp phản chứng hơi tắt một tí.

Giả sử \(\sqrt{2}\) là số hữu tỉ thì sẽ có dạng \(\sqrt{2}=\frac{m}{n}\) tối giản.

Mình chứng minh \(\frac{m}{n}\) không tối giản nên \(\sqrt{2}\) là số vô tỉ

                                                      Bài giải

a, Ta có :

\(\sqrt{2}\) là số vô tỉ \(\Rightarrow\) \(7-\sqrt{2}\) là số vô tỉ

b, Ta có :

\(\sqrt{5}\)là số vô tỉ \(\Rightarrow\sqrt{5}+24\) là số vô tỉ

♥๖Lan_Phương_cute#✖#girl_học_đường๖ۣۜ💋:))♥｡◕‿◕｡

chứng minh them \(\sqrt{2}\) và \(\sqrt{5}\) là số vô tỉ nữa ! Vào đây tham khảo :

https://olm.vn/hoi-dap/detail/227642288657.html