a) \(\overrightarrow {MN}  = 3\overrightarrow a \)có độ dài bằng 3 lần vectơ \(\overrightarrow a \), cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow a \)

Suy ra, từ điểm M vẽ vectơ MN với độ dài là 6 ô vuông và có hướng từ trái sang phải

\(\overrightarrow {MP}  =  - 3\overrightarrow b \)có độ dài bằng 3 lần vectơ \( - \overrightarrow b \), ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow b \)

Suy ra, từ điểm M vẽ vectơ MP với độ dài là 3 đường chéo ô vuông và có hướng từ trên xuống dưới chếch sang trái

b) Hình vuông với cạnh bằng 1 thì ta tính được đường chéo có độ dài là \(\sqrt 2 \); \(\left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt 2 \) . Suy ra:

\(\left| {3\overrightarrow b } \right| = 3\left| {\overrightarrow b } \right| = 3\sqrt 2 \); \(\left| { - 3\overrightarrow b } \right| = 3\left| {\overrightarrow { - b} } \right| = 3\sqrt 2 \); \(\left| {2\overrightarrow a  + 2\overrightarrow b } \right| = \left| {2\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right)} \right| = 2\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right|\)

Từ điểm cuối của vectơ \(\overrightarrow a \) vẽ một vectơ bằng vectơ \(\overrightarrow b \) ta có \(\overrightarrow c  = \overrightarrow a  + \overrightarrow b \)

Áp dụng định lý cosin ta tính được độ dài của vectơ \(\overrightarrow c \)là \(\left| {\overrightarrow c } \right| = \sqrt {{{\left| {\overrightarrow a } \right|}^2} + {{\left| {\overrightarrow b } \right|}^2} - 2\left| {\overrightarrow a } \right|\left| {\overrightarrow b } \right|\cos \left( {\widehat {\overrightarrow a ,\overrightarrow b }} \right)}  = \sqrt {{2^2} + {{\sqrt 2 }^2} - 2.2.\sqrt 2 .\cos \left( {135^\circ } \right)}  = \sqrt {10} \)

\( \Rightarrow \left| {2\overrightarrow a  + 2\overrightarrow b } \right| = 2\left| {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right| = 2\left| {\overrightarrow c } \right| = 2\sqrt {10} \)

a)      

+) Vectơ \(\overrightarrow a \) cùng phương với vectơ \(\overrightarrow c \) nên giá của vectơ \(\overrightarrow a \) song song với giá của vectơ \(\overrightarrow c \)

+) Vectơ \(\overrightarrow b \) cùng phương với vectơ \(\overrightarrow c \) nên giá của vectơ \(\overrightarrow b \) song song với giá của vectơ \(\overrightarrow c \)

Suy ra giá của vectơ \(\overrightarrow a \) và vectơ \(\overrightarrow b \) song song với nhau nên \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng phương

Vậy khẳng định trên đúng

b)       Giả sử vectơ \(\overrightarrow c \) có hướng từ A sang B

+) Vectơ \(\overrightarrow a \) ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow c \) nên giá của vectơ \(\overrightarrow a \) song song với giá của vectơ \(\overrightarrow c \) và có hướng từ B sang A

+) Vectơ \(\overrightarrow b \) ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow c \) nên giá của vectơ \(\overrightarrow b \) song song với giá của vectơ \(\overrightarrow c \) và có hướng từ B sang A

Suy ra, hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng hướng

Vậy khẳng định trên đúng

a)
Các véc tơ cùng phương với \(\overrightarrow{AB}\) là:
\(\overrightarrow{MO};\overrightarrow{OM};\overrightarrow{MN};\overrightarrow{NM};\overrightarrow{NO};\overrightarrow{ON};\overrightarrow{DC};\overrightarrow{CD};\overrightarrow{BA};\overrightarrow{AB}\).
Hai véc tơ cùng hướng với \(\overrightarrow{AB}\) là:
\(\overrightarrow{MO};\overrightarrow{ON}\).
Hai véc tơ ngược hướng với \(\overrightarrow{AB}\) là:
\(\overrightarrow{OM};\overrightarrow{ON}\).
b) Một véc tơ bằng véc tơ \(\overrightarrow{MO}\) là: \(\overrightarrow{ON}\).
Một véc tơ bằng véc tơ \(\overrightarrow{OB}\) là: \(\overrightarrow{DO}\).

Tham khảo:

a) Trên mặt phẳng tọa độ, lấy các điểm A, B, C sao cho \(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow a ;\;\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow b ;\;\overrightarrow {OC}  = \overrightarrow u \)

Trên hệ trục Oxy với các vectơ đơn vị \(\overrightarrow i  = \overrightarrow a ,\;\overrightarrow j  = \overrightarrow b \), lấy M, N là hình chiếu của C trên Ox, Oy.

Gọi tọa độ của \(\overrightarrow u \)là \(\left( {x;y} \right)\). Đặt \(\alpha  = \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow a } \right)\).

+) Nếu \({0^o} < \alpha  < {90^o}\): \(x = OM = \;|\overrightarrow u |.\cos \alpha  = \;|\overrightarrow u |.\cos \alpha .\;|\overrightarrow a |\; = \overrightarrow u \,.\,\overrightarrow a \,;\)

+) Nếu \({90^o} < \alpha  < {180^o}\): \(x =  - OM = \; - |\overrightarrow u |.\cos ({180^o} - \alpha ) = \;|\overrightarrow u |.\cos \alpha \; = \overrightarrow u \,.\,\overrightarrow a \,;\)

Như vậy ta luôn có: \(x = \overrightarrow u .\overrightarrow a \)

Chứng minh tương tự, ta có: \(y = \overrightarrow u .\overrightarrow b \)

Vậy vectơ \(\overrightarrow u \) có tọa độ là \((\overrightarrow u \,.\,\overrightarrow a \,;\,\overrightarrow u \,.\,\overrightarrow b )\)

b) Trong hệ trục Oxy với các vectơ vectơ đơn vị \(\overrightarrow i  = \overrightarrow a ,\;\overrightarrow j  = \overrightarrow b \), vectơ \(\overrightarrow u \) có tọa độ là \((\overrightarrow u \,.\,\overrightarrow a \,;\,\overrightarrow u \,.\,\overrightarrow b )\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow u  = (\overrightarrow u \,.\,\overrightarrow a \,).\overrightarrow i  + (\,\overrightarrow u \,.\,\overrightarrow b ).\overrightarrow j \\ \Leftrightarrow \overrightarrow u  = (\overrightarrow u \,.\,\overrightarrow a \,).\overrightarrow a  + (\,\overrightarrow u \,.\,\overrightarrow b ).\overrightarrow b \end{array}\)

Do các vectơ đều nằm trên đường thẳng AB nên các vectơ này đều cùng phương với nhau.

Dễ thấy:

Các vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BC} \) cùng hướng (từ trái sang phải.)

Các vectơ \(\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} \) cùng hướng (từ phải sang trái.)

Do đó, các cặp vectơ cùng hướng là:

\(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \); \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {BC} \); \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {BC} \); \(\overrightarrow {BA} \) và \(\overrightarrow {CA} \);  \(\overrightarrow {BA} \) và \(\overrightarrow {CB} \);\(\overrightarrow {BA} \) và \(\overrightarrow {CB} \).

Các cặp vectơ ngược hướng là:

\(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {BA} \); \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CA} \); \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CB} \);

\(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {BA} \); \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {CA} \); \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {CB} \);

\(\overrightarrow {BC} \) và \(\overrightarrow {BA} \); \(\overrightarrow {BC} \) và \(\overrightarrow {CA} \); \(\overrightarrow {BC} \) và \(\overrightarrow {CB} \);

Hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow {AB} \) cùng hướng: có giá song song và cùng hướng với nhau.

Hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow x \) ngược hướng: có giá song song và ngược hướng với nhau.

Vectơ \(\overrightarrow z \) có giá song song với giá của vectơ \(\overrightarrow a \), ngược hướng với vectơ \(\overrightarrow a \) nên hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow z \) ngược hướng với nhau.

Vectơ \(\overrightarrow y \) có giá song song với giá của vectơ \(\overrightarrow a \), cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow a \) nên hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow y \) cùng hướng với nhau.

Vectơ \(\overrightarrow b \) có giá không song song với giá của vectơ \(\overrightarrow a \) nên hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) không cùng phương với nhuau. Do vậy không xét chúng cùng hướng hay ngược hướng với nhau.

Tham khảo:

a)  M thuộc cạnh BC nên vectơ \(\overrightarrow {MB} \) và \(\overrightarrow {MC} \) ngược hướng với nhau.

Lại có: MB = 3 MC \( \Rightarrow \overrightarrow {MB}  =  - 3.\overrightarrow {MC} \)

b) Ta có: \(\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BM} \)

Mà \(BM = \dfrac{3}{4}BC\) nên \(\overrightarrow {BM}  = \dfrac{3}{4}\overrightarrow {BC} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB}  + \dfrac{3}{4}\overrightarrow {BC} \)

Lại có: \(\overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} \) (quy tắc hiệu)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AB}  + \dfrac{3}{4}\left( {\overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} } \right) = \dfrac{1}{4}.\overrightarrow {AB}  + \dfrac{3}{4}.\overrightarrow {AC} \)

Vậy \(\overrightarrow {AM}  = \dfrac{1}{4}.\overrightarrow {AB}  + \dfrac{3}{4}.\overrightarrow {AC} \)

a)       Áp dụng quy tắc ba điểm ta có:

\(\overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  = \overrightarrow {AC} \);

\(\overrightarrow b  + \overrightarrow a  = \overrightarrow {AE}  + \overrightarrow {EC}  = \overrightarrow {AC} \)

\( \Rightarrow \overrightarrow a  + \overrightarrow b  = \overrightarrow b  + \overrightarrow a \)

b)       Áp dụng quy tắc ba điểm ta có:

\(\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right) + \overrightarrow c  = \left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC} } \right) + \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AD} \)

\(\overrightarrow a  + \left( {\overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right) = \overrightarrow {AB}  + \left( {\overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CD} } \right) = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BD}  = \overrightarrow {AD} \)

\( \Rightarrow \left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b } \right) + \overrightarrow c  = \overrightarrow a  + \left( {\overrightarrow b  + \overrightarrow c } \right)\)

Cách 1:

Gọi tọa độ của vectơ \(\overrightarrow a \) là (x; y).

Ta có: \(|\overrightarrow a |\, = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \).

Đặt \(\overrightarrow i  = \frac{1}{{|\overrightarrow a |}}\;.\overrightarrow a \)

\( \Rightarrow \overrightarrow i  = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}.(x;y) = \left( {\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }};\frac{y}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}} \right)\)

\( \Rightarrow |\overrightarrow i |\, = \sqrt {{{\left( {\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{y}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}} \right)}^2}}  = \sqrt {\frac{{{x^2}}}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{x^2} + {y^2}}}}  = 1\)

Mặt khác:

 \(\overrightarrow i  = \frac{1}{{|\overrightarrow a |}}\;.\overrightarrow a  = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}.\overrightarrow a \) và \(\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }} > 0\) với mọi \(x,y \ne 0\)

Do đó vectơ \(\overrightarrow i \) và \(\overrightarrow a \) cùng hướng.

Vậy \(\frac{1}{{|\overrightarrow a |}}\;\overrightarrow a \) (hay \(\frac{{\overrightarrow a }}{{|\overrightarrow a |}}\)) là một vectơ đơn vị, cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow a \).

Cách 2:

Với mọi vectơ \(\overrightarrow a  \ne \overrightarrow 0 \), ta có:  \(|\overrightarrow a |\; > 0 \Rightarrow k = \frac{1}{{|\overrightarrow a |}} > 0\). Đặt \(\overrightarrow i  = \frac{1}{{|\overrightarrow a |}}\;.\overrightarrow a  = k.\overrightarrow a \)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow |\overrightarrow i |\, = \;|k.\overrightarrow a |\; = \;|k|.|\overrightarrow a |\;\\ \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {\,i} \,} \right| = k.|\overrightarrow a |\; = \frac{1}{{|\overrightarrow a |}}.|\overrightarrow a | = 1\end{array}\)

Mặt khác: \(\overrightarrow i  = \frac{1}{{|\overrightarrow a |}}\;.\overrightarrow a  = k.\overrightarrow a \) và \(k > 0\)

Do đó vectơ \(\overrightarrow i \) và \(\overrightarrow a \) cùng hướng.

Vậy \(\frac{1}{{|\overrightarrow a |}}\;\overrightarrow a \) (hay \(\frac{{\overrightarrow a }}{{|\overrightarrow a |}}\)) là một vectơ đơn vị, cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow a \).