\(f\left(x\right)-\left(x+1\right)f'\left(x\right)=2x.f^2\left(x\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{f\left(x\right)-\left(x+1\right)f'\left(x\right)}{f^2\left(x\right)}=2x\)

\(\Rightarrow\left[\dfrac{x+1}{f\left(x\right)}\right]'=2x\)

Lấy nguyên hàm 2 vế:

\(\dfrac{x+1}{f\left(x\right)}=\int2xdx=x^2+C\)

Thay \(x=1\Rightarrow\dfrac{2}{f\left(1\right)}=1+C\Rightarrow C=0\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=\dfrac{x+1}{x^2}\Rightarrow\int\limits^2_1\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}\right)dx=\left(lnx-\dfrac{1}{x}\right)|^2_1=ln2+\dfrac{1}{2}\)

C

Đặt \(g\left(x\right)=f\left(x+\dfrac{1}{3}\right)-f\left(x\right)\)

Hiển nhiên \(g\left(x\right)\) cũng liên tục trên R

Ta có: \(g\left(0\right)=f\left(\dfrac{1}{3}\right)-f\left(0\right)\)

\(g\left(\dfrac{2}{3}\right)=f\left(1\right)-f\left(\dfrac{2}{3}\right)\)

\(g\left(\dfrac{1}{3}\right)=f\left(\dfrac{2}{3}\right)-f\left(\dfrac{1}{3}\right)\)

Cộng vế với vế:

\(g\left(0\right)+g\left(\dfrac{1}{3}\right)+g\left(\dfrac{2}{3}\right)=f\left(1\right)-f\left(0\right)=0\)

- Nếu tồn tại 1 trong 3 giá trị \(g\left(0\right);g\left(\dfrac{1}{3}\right);g\left(\dfrac{2}{3}\right)\) bằng 0 thì hiển nhiên pt có nghiệm

- Nếu cả 3 giá trị đều khác 0 \(\Rightarrow\) tồn tại ít nhất 2 trong 3 giá trị \(g\left(0\right)\) ; \(g\left(\dfrac{1}{3}\right)\) ; \(g\left(\dfrac{2}{3}\right)\) trái dấu

\(\Rightarrow\) Luôn tồn tại ít nhất 1 trong 3 tích số: \(g\left(0\right).g\left(\dfrac{1}{3}\right)\) ; \(g\left(0\right).g\left(\dfrac{2}{3}\right)\) ; \(g\left(\dfrac{1}{3}\right).g\left(\dfrac{2}{3}\right)\) âm

\(\Rightarrow\) Pt \(g\left(x\right)=0\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left[0;1\right]\)

Em cảm ơn ạ!

Đang học Lý mà thấy bài nguyên hàm hay hay nên nhảy vô luôn :b

\(I_1=\int\limits^1_0xf\left(x\right)dx\)

\(\left\{{}\begin{matrix}u=f\left(x\right)\\dv=xdx\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=f'\left(x\right)dx\\v=\dfrac{1}{2}x^2\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\int xf\left(x\right)dx=\dfrac{1}{2}x^2f\left(x\right)-\dfrac{1}{2}\int x^2f'\left(x\right)dx\)

\(\Rightarrow\int\limits^1_0xf\left(x\right)dx=\dfrac{1}{2}x^2|^1_0-\dfrac{1}{2}\int\limits^1_0x^2f'\left(x\right)dx=\dfrac{1}{5}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}\int\limits^1_0\left[f'\left(x\right)\right]^2dx=\dfrac{3}{10}\Rightarrow\int\limits^1_0x^2f'\left(x\right)dx=\dfrac{3}{5}\)

Đoạn này hơi rối xíu, ông để ý kỹ nhé, nhận thấy ta có 2 dữ kiện đã biết, là: \(\int\limits^1_0\left[f'\left(x\right)\right]^2dx=\dfrac{9}{5}and\int\limits^1_0x^2f'\left(x\right)dx=\dfrac{3}{5}\) có gì đó liên quan đến hằng đẳng thức, nên ta sẽ sử dụng luôn

\(\int\limits^1_0\left[f'\left(x\right)+tx^2\right]^2dx=0\)

\(\Leftrightarrow\int\limits^1_0\left[f'\left(x\right)\right]^2dx+2t\int\limits^1_0x^2f'\left(x\right)dx+t^2\int\limits^1_0x^4dx=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{9}{5}+\dfrac{6}{5}t+\dfrac{1}{5}t^2=0\)  \(\left(\int\limits^1_0x^4dx=\dfrac{1}{5}x^5|^1_0=\dfrac{1}{5}\right)\)\(\)\(\Leftrightarrow t=-3\Rightarrow\int\limits^1_0\left[f'\left(x\right)-3x^2\right]^2dx=0\)

\(\Leftrightarrow f'\left(x\right)=3x^2\Leftrightarrow f\left(x\right)=x^3+C\)

\(\Rightarrow\int\limits^1_0f\left(x\right)dx=\int\limits^1_0x^3dx=\dfrac{1}{4}x^4|^1_0=\dfrac{1}{4}\)

P/s: Có gì ko hiểu hỏi mình nhé !

cái chỗ tx² 

Theo em ý kiến của bạn Nam là đúng.

Ta có: Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại điểm \({x_0}\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\)

Hàm số \(y = g\left( x \right)\) không liên tục tại \({x_0}\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) \ne g\left( {{x_0}} \right)\)

Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) + \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) \ne f\left( {{x_0}} \right) + g\left( {{x_0}} \right)\)

Vì vậy hàm số không liên tục tại x₀.

48 D

50   

xem có j k hiểu hỏi a nha

\(\int\limits^3_{-1}f\left(\left|x\right|\right)dx=\int\limits^0_{-1}f\left(\left|x\right|\right)dx+\int\limits^1_0f\left(\left|x\right|\right)dx+\int\limits^3_1f\left(\left|x\right|\right)dx\)

\(=\int\limits^0_{-1}f\left(-x\right)dx+\int\limits^1_0f\left(x\right)dx+\int\limits^3_1f\left(x\right)dx\)

\(=\int\limits^1_0f\left(x\right)dx+\int\limits^1_0f\left(x\right)dx+\int\limits^3_1f\left(x\right)dx\)

\(=3+3+6=12\)

https://hoc24.vn/cau-hoi/giup-em-cau-nay-voi-ajaaaaa-em-cam-on-nhieuuu.5912828614332 giúp em thầy ơiiii

Trên các khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\), \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 2x}}{x}\) là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên từng khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Ta có: \(f\left( 0 \right) = a\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{x^2} - 2x}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{x\left( {x - 2} \right)}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {x - 2} \right) = 0 - 2 =  - 2\)

Để hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) phải liên tục tại điểm \({x_0} = 0\).  Khi đó:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow a =  - 2\).

Vậy với \(a =  - 2\) thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Trên các khoảng \(\left( { - \infty ;5} \right)\) và \(\left( {5; + \infty } \right)\), \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 25}}{{x - 5}}\) là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên từng khoảng \(\left( { - \infty ;5} \right)\) và \(\left( {5; + \infty } \right)\).

Ta có: \(f\left( 5 \right) = a\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{{x^2} - 25}}{{x - 5}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)}}{{x - 5}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \left( {x + 5} \right) = 5 + 5 = 10\)

Để hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) phải liên tục tại điểm \({x_0} = 5\).  Khi đó: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} f\left( x \right) = f\left( 5 \right) \Leftrightarrow a = 10\).

Vậy với \(a = 10\) thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( { - 2; + \infty } \right)\), \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}}\) là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên từng khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( { - 2; + \infty } \right)\).

Ta có: \(f\left( { - 2} \right) = a\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \frac{{{x^2} - 4}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \left( {x - 2} \right) =  - 2 - 2 =  - 4\)

Để hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) phải liên tục tại điểm \({x_0} =  - 2\).  Khi đó:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} f\left( x \right) = f\left( { - 2} \right) \Leftrightarrow a =  - 4\).

Vậy với \(a =  - 4\) thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).