b: Ta có: \(\widehat{ABM}+\widehat{A}=90^0\)

\(\widehat{ACN}+\widehat{A}=90^0\)

Do đó: \(\widehat{ABM}=\widehat{ACN}\)

Xét ΔABC có 

BM là đường cao ứng với cạnh AC

CN là đường cao ứng với cạnh AB

BM cắt CN tại H

Do đó: H là trực tâm của ΔABC

Suy ra: AH\(\perp\)BC

a: Xét tứ giác BHCD có 

BH//CD

BD//CH

Do đó: BHCD là hình bình hành

a) Xét ΔANC và ΔAMB có

\(\widehat{BAC}\) chung

\(\widehat{ANC}=\widehat{AMB}\left(=90^0\right)\)

Do đó: ΔANC∼ΔAMB(g-g)

⇒\(\frac{AN}{AM}=\frac{AC}{AB}\)

hay \(\frac{AN}{AC}=\frac{AM}{AB}\)

Xét ΔAMN và ΔABC có

\(\frac{AN}{AC}=\frac{AM}{AB}\)(cmt)

\(\widehat{BAC}\) chung

Do đó: ΔAMN∼ΔABC(c-g-c)

b) Xét ΔABC có

BM là đường cao ứng với cạnh AC(gt)

CN là đường cao ứng với cạnh AB(gt)

BM\(\cap\)CN={H}

Do đó: H là trực tâm của ΔABC(định nghĩa trực tâm của tam giác)

Gọi K là giao điểm của AH và BC

⇒AK⊥BC

hay HK⊥BC

Xét ΔBHK và ΔBCM có

\(\widehat{BKH}=\widehat{BMC}\left(=90^0\right)\)

\(\widehat{HBK}\) chung

Do đó: ΔBHK∼ΔBCM(g-g)

⇒\(\frac{BH}{BC}=\frac{BK}{BM}\)

hay \(BH\cdot BM=BC\cdot BK\)

Xét ΔBCN và ΔHCK có

\(\widehat{HCK}\) chung

\(\widehat{BNC}=\widehat{HKC}\left(=90^0\right)\)

Do đó: ΔBCN∼ΔHCK(g-g)

⇒\(\frac{BC}{HC}=\frac{CN}{CK}\)

hay \(CN\cdot CH=BC\cdot CK\)

Ta có: \(BM\cdot BH+CN\cdot CH\)

\(=BK\cdot BC+CK\cdot BC\)

\(=BC\cdot\left(BK+CK\right)=BC\cdot BC=BC^2\)(đpcm)

Đa tạ