a: BC=13cm

b: Xét ΔCAD vuông tại A và ΔCHD vuông tại H có

CD chung

\(\widehat{ACD}=\widehat{HCD}\)

Do đó: ΔCAD=ΔCHD

Suy ra: CA=CH

\(a,BC=HB+HC=25\left(cm\right)\)

Áp dụng HTL:

\(\left\{{}\begin{matrix}AB^2=BH\cdot BC=225\\AC^2=CH\cdot BC=400\\AH^2=BH\cdot CH=144\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AB=15\left(cm\right)\\AC=20\left(cm\right)\\AH=12\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

Vì \(\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=\widehat{BAC}=90^0\) nên ADHE là hcn

Do đó \(DE=AH=12\left(cm\right)\)

Xét tam giác ABC có: AC^2=15^2=225(1)

AB^2+BC^2=12^2+9^2=225(2)

Từ (1);(2)=>AC^2=AB^2+BC^2(225=225)

Do đó tam giác ABC vuông(tại B)

Theo đề :

AC = 15 => AC² = 15² = 225 (cm)

AB = 12 => AB² = 12² = 144 (cm)

BC = 9 => BC² = 9² = 81 (cm)

=> AB² + BC² = 144 + 81 = 225 = AC²

=> Tam giác ABC vuông tại B (Theo đ/lí Pi-ta-go đảo).

Xét tứ giác ABKC có:

\(B\chi\perp AB\) (gt)

\(AC\perp AB\) (gt)

\(\Rightarrow B\chi\text{//}AC\) 

\(\Rightarrow\text{Tứ giác ABKC}\) là hình thang

mà \(\widehat{A}=\widehat{B}=\)\(90^0\)

Vậy hình thang ABKC là hình thang vuông

b) Xét ΔABK và ΔCHA có:

\(\widehat{ABK}=\widehat{CHA}=\)\(90^0\)

\(\widehat{BAK}=\widehat{HCA} \) ( cùng phụ với \(\widehat{HAC}\) )

\(\Rightarrow\text{ΔABK}\) \(\sim\)ΔCHA (gg)

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{CH}=\dfrac{AK}{CA}\)

\(\Rightarrow AB.CA=AK.CH\)

c)  Xét ΔAHB và ΔCHA có:

\(\widehat{AHB}=\widehat{CHA}=\)\(90^0\)

​\(\widehat{BAH}=\widehat{HCA}\)​ ( cùng phụ với \(\widehat{HAC}\) )​

\(\Rightarrow\Delta AHB\sim\Delta CHA\left(gg\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{AH}{CH}=\dfrac{BH}{AH}\)

\(\Rightarrow AH.AH=BH.CH\)

​\(\Rightarrow AH^2=BH.CH\)

​\(\Rightarrow AH^2=9.16\)

\(\Rightarrow AH=12\left(cm\right)\)

Xét \(\Delta AHB\) vuông tại H có:

\(AB^2=BH^2+HA^2\) ( Định lí Pitago)​​

\(\Rightarrow AB^2=9^2+12^2\)

\(\Rightarrow AB=\sqrt{225=15\left(cm\right)}\)

a) -Xét △AIC và △DIB có:

\(\widehat{IAC}=\widehat{IDB}=90^0\)

\(\widehat{AIC}=\widehat{DIB}\) (đối đỉnh)

\(\Rightarrow\)△AIC∼△DIB (g-g).

\(\Rightarrow\dfrac{AI}{DI}=\dfrac{CI}{BI}\) nên \(\dfrac{AI}{CI}=\dfrac{DI}{BI}\)

b) -Xét △AID và △CIB có:

\(\widehat{AID}=\widehat{CIB}\) (đối đỉnh)

\(\dfrac{AI}{CI}=\dfrac{DI}{BI}\)(cmt)

\(\Rightarrow\)△AID∼△CIB (c-g-c) nên \(\widehat{ABC}=\widehat{ADC}\)

c) -Có: \(\widehat{IAD}=\widehat{ICB}\) (△AID∼△CIB)

\(\widehat{ICA}=\widehat{IBD}\)(△AIC∼△DIB)

Mà \(\widehat{ICB}=\widehat{ICA}\) (CI là tia phân giác của \(\widehat{ACB}\))

\(\Rightarrow\widehat{IAD}=\widehat{IBD}\)
\(\Rightarrow\)△ADB cân tại D nên \(DA=DB\)