Xét tam giác ABC ta có : \(\widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180^o\)

=> \(\widehat{ABC}=60^o\)

Xét tam giác BCD ta có \(\widehat{BCD}+\widehat{CBD}+\widehat{BDC}=180^o\)

                                  => \(\widehat{BCD}=30^o\)

Ta có : \(\widehat{ACD}+\widehat{BCD}=90^o\)=>  \(\widehat{ACD}=60^o\)

Xét tam giác CDE có \(\hept{\begin{cases}\widehat{CED}=90^o\\\widehat{DCE}=60^o\end{cases}}\)

=> Tam giác CDE nửa đều   =>  CE = 1/2.CD             (1)

Xét tam giác ACD có \(\hept{\begin{cases}\widehat{ADC}=90^o\\\widehat{ACD}=60^o\end{cases}}\)

=> Tam giác ACD nửa đều  =>  CD = 1/2.AC               (2)

Từ (1) và (2) => CE = 1/4.AC

=> AE = 3/4.AC  => AE = 7,5 ( cm )

Vậy AE = 7,5 cm

Tam giác ABC vuông tại C có góc A = 30⁰

=> AC = 2.CD   =>   CD = 5

Áp dụng Pytagota có:

AD² +CD² = AC²

=> AD² = AC² - CD² = 75

=>  \(AD=5\sqrt{3}\)

Tam giác AED vuông tại E có góc A = 30⁰

=> AD = 2.ED  => 

=>  \(ED=\frac{5\sqrt{3}}{2}\)

Áp dụng Pytago ta có:

\(AE^2+ED^2=AD^2\)

=> \(AE^2=AD^2-ED^2=56,25\)

=>  \(AE=7,5\)

Xét ΔBCA vuông tại C có \(\sin B=\dfrac{AC}{AB}\)

nên \(AB=\dfrac{20\sqrt{3}}{3}\left(cm\right)\)

Xét ΔBCA vuông tại C có CD là đường cao

nên \(AD\cdot AB=AC^2\)

hay \(AD=10^2:\left(\dfrac{20}{\sqrt{3}}\right)^2=0,75\left(cm\right)\)

Xét ΔCDA vuông tại D có DE là đường cao

nên \(AE\cdot AC=AD^2\)

hay \(AE=0.75^2:10^2=\dfrac{9}{1600}\left(cm\right)\)