f(x) = (m+1)x² - 2(m+1)x + 2m+3 

♠ m = -1: f(x) = 0.x² - 0.x + 1 = 1 > 0 với mọi x nên f(x) ≥ 0 có nghiệm x thuộc R 

♠ m # -1, có ∆' = (m+1)² - (m+1)(2m+3) = -(m+1)(m+2) 
ta biện luận theo dấu của delta': 
m│ -∞________ -2 _________ -1 ________ +∞ 
∆ │≈≈≈≈≈ - ≈≈≈≈ 0 ≈≈≈≈ + ≈≈≈≈ || ≈≈≈≈ - ≈≈≈≈≈≈ 

* nếu m < -2 => ∆' < 0, m+1 < 0 => f(x) < 0 với mọi x nên f(x) ≥ 0 vô nghiệm 

* nếu m = -2 <=> ∆' = 0 và m+1 < 0 <=> f(x) ≤ 0 với mọi x thuộc R 
=> f(x) ≥ 0 có nghiệm x = 2 (còn dính đc chổ có dấu "=" ) 

* -2 < m < -1 <=> ∆' > 0 ; f(x) có 2 lần đổi dấu => f(x) ≥ 0 có nghiệm 

* nếu m > -1 => ∆' > 0 và m+1 > 0 => f(x) > 0 với mọi x => f(x) ≥ 0 có nghiệm 

Tóm lại các trường hợp: bpt f(x) ≥ 0 có nghệm khi và chỉ khi m ≥ -2 
~~~~~~~~~~ 
Cách khác: giải ngược lại ta tìm m để bpt f(x) ≥ 0 vô nghiệm 
tức là f(x) < 0 với mọi x thuộc R 
* nếu m = -1 thì như trên f(x) ≥ 0 có nghiêm 

* nếu m # -1, f(x) < 0 với mọi x thuộc R khi và chỉ khi 
{ ∆' < 0 
{ m+1 < 0 
<=> { m < -2 hoăc m > -1 
----- { m < -1 
<=> m < -2 
Vậy bpt f(x) ≥ 0 có nghiệm khi và chỉ khi m ≥ -2 

Ta có : x² - 2x - 3m² = 0 

Tại m = 1 thì pt trở thành : 

x² - 2x - 3.1² = 0 

<=> x² - 2x - 3 = 0 

<=> x² - 3x + x - 3= 0 

<=> x(x - 3) + (x - 3) = 0 

<=> (x - 3)(x + 1) = 0 

<=> \(\orbr{\begin{cases}x-3=0\\x+1=0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=3\\x=-1\end{cases}}}\)

Trường hợp 1: m=0

=>-3<0(luôn đúng)

=>Nhận

Trường hợp 2: m<>0

\(\text{Δ}=\left(2m\right)^2-4\cdot m\cdot\left(-3\right)=4m^2+12m=4m\left(m+3\right)\)

Để phương trình có nghiệm đúng thì \(\left\{{}\begin{matrix}4m\left(m+3\right)< 0\\m< 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow-3< m< 0\)

Vậy: -3<m<=0

TH1: \(m=2\)

\(pt\Leftrightarrow-4x+5=0\Leftrightarrow x=\dfrac{5}{4}\)

\(\Rightarrow m=2\) không thỏa mãn yêu cầu bài toán

TH2: \(m\ne2\)

Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=m^2-\left(m-2\right)\left(m+3\right)>0\\\dfrac{2m}{m-2}>0\\\dfrac{m+3}{m-2}>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}6-m>0\\\dfrac{2m}{m-2}>0\\\dfrac{m+3}{m-2}>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m< -3\\2< m< 6\end{matrix}\right.\)

Vậy \(m\in\left(-\infty;-3\right)\cup\left(2;6\right)\)

\(x^2+\left(m-2\right)x-8=0\)

\(\Delta=b^2-4ac=\left(m-2\right)^2-4.1.\left(-8\right)=\left(m-2\right)^2+32\)

Vì \(\left(m-2\right)^2\ge0\forall m\)

\(\Rightarrow\left(m-2\right)^2+32\ge32>0\forall m\)

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

Theo định lí vi-ét ta có:\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=\frac{-b}{a}=2-m\\x_1x_2=\frac{c}{a}=-8\end{cases}}\Rightarrow x_2=\frac{-8}{x_1}\)

Theo bài ra ta có:\(A=\left(x_1^2-1\right)\left(x_2^2-4\right)=\left(x_1^2-1\right)\left(\frac{64}{x_1^2}-4\right)=68-4\left(x_1^2+\frac{16}{x_1^2}\right)\le68-4.8=36\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(x_1=\pm2\)

+Với  \(x_1=2\Rightarrow m=4\)

+Với \(x_1=-2\Rightarrow m=0\)

Vậy \(A=\left(x_1^2-1\right)\left(x_2^2-4\right)\)đạt GTLN là 36 \(\Leftrightarrow m=0;m=4\)