a, 

ta có 

A + B+ C = \(180^0\)

B + C  = \(180^0\)-  A

mà BI là phân giác góc B

IBC = \(\frac{1}{2}\)B

CI là phân giác góc C 

ICB = \(\frac{1}{2}\)C

suy ra 

IBC + ICB = \(\frac{1}{2}\)B + \(\frac{1}{2}\)C = \(\frac{1}{2}\)( B + C ) = \(\frac{1}{2}\)( \(180^0\)- A ) = \(\frac{1}{2}\) \(\left(180^0-60^0\right)\)= \(60^0\)

mà IBC + ICB + BIC = \(180^0\)

suy ra BIC = \(180^0\)- ( IBC + ICB )

          BIC = \(180^0\)- \(60^0\) 

          BIC = \(120^0\)

b,

ta có vì I là giao điểm của phân giác góc B và C 

suy ra phân giác góc A đi qua I suy ra tia AI trùng tia IF suy ra AF là phần giác góc A mà I cách đều AB ; AC ; BC 

nên IE = ID = IF

c,

ta có EIB + BIC =\(180^0\) 

       EIB = \(180^0-120^0\)

     EIB = \(60^0\)

    Mà EIB đối đỉnh góc DIC 

suy ra DIC = EIB =  \(60^0\)

vì IF là tia phân giác góc BIC 

nên BIF = CIF = \(\frac{1}{2}\)\(120^0\)= \(60^0\)

EIF = BIE + BIF = \(60^0+60^0=120^0\)

DIF = DIC + CIF =  \(60^0+60^0=120^0\)

xét tam giác EIF và DIF có 

EIF = DIF = \(120^0\)

IF là cạnh chung 

IE = ID 

suy ra tam giác EIF = tam giác DIF ( c-g-c )

suy ra EF = DF 

ta có góc BIC đối đỉnh góc EID 

nên BIC = EID = \(120^0\)

xét tam giác EIF và EID có 

EID = EIF =\(120^0\)

ID = IF 

IE cạnh chung 

suy ra tam giác DIE = tam giác FIE ( c-g-c )

suy ra ED = EF 

mà EF = DF 

suy ra ED = EF = DF

suy ra tam giác EDF là tam giác đều 

d,

ta có IE = IF = ID 

nên I cách đều 3 đỉnh tam giác DFE nên I là giao điểm của 3 đường trung trực tam giác DEF 

mà trong tam giác đều 3 đường trung trực đồng thời là 3 đường phân giác của tam giác đó 

suy ra I là giao điểm của hai đường phân giác trong tam giác ABC vá DEF

a: Xét ΔADI vuông tạiD và ΔAEI vuông tại E có

AI chung

góc DAI=góc EAI

Do đó: ΔADI=ΔAEI

Suy ra: ID=IE

b: \(\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180^0-\widehat{BAC}\)

\(\Leftrightarrow\widehat{IBC}+\widehat{ICB}=90^0-\dfrac{1}{2}\widehat{BAC}\)

\(\Leftrightarrow\widehat{BIC}=180^0-90^0+\dfrac{1}{2}\cdot\widehat{BAC}=\dfrac{1}{2}\cdot\widehat{BAC}+90^0\)

c: \(IA^2+IB^2=AD^2+DI^2+DB^2+DI^2\)

\(=2\cdot ID^2+AD^2+BD^2\)

Tham khảo:Câu hỏi của Kaito1412_TV - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath

a) I là giao điểm của 2 đường phân giác của tam giác ABC

=> I cũng là giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác ABC 

hay áp dụng định lý của ba đường phân giác của tam giác thì I cách đều 3 cạnh

<=> ID = IE ( đpcm ).

b)\(\widebat{A}+\widebat{B}+\widebat{C}=180^o\)

\(\Leftrightarrow\widebat{B}+\widebat{C}=180^o-\widebat{A}\)

\(\Leftrightarrow\frac{\widebat{B}}{2}+\frac{\widebat{C}}{2}=90^o-\frac{\widebat{A}}{2}\)

\(\Leftrightarrow\widebat{BIC}=180^o-\left(90^o-\frac{\widebat{A}}{2}\right)=90^o+\frac{\widebat{BAC}}{2}\left(đpcm\right).\)

c) Áp dụng định lý Pytago:

IA² = ID²  + AD² 

IB² = ID² + BD² 

=> IA² + IB² = 2ID² +AD² +BD² ( đpcm ).

d) Chưa nghĩ ra.

Lưu ý: Làm hơi tắt.

d, Từ I kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt BC tại F.

Xét tam giác vuông DIB và FIB có BD = BF.

CM tương tự : CE = CF

BF + CF =BC => CE + BD = BC.