co 3 cap    (0;0)   (2;2)    (-2;-2)

co 2 cap   (0;0)    (2;2)

mình biết làm nhưng dài quá bạn tra trên google là đc

Ta có:

xy+x-y=4

<=> xy+x-y-1=3

<=> x(y+1)-(y+1)=3

<=>(y+1)(x-1)=3=1.3=3.1 (Do x, y nguyên dương)

=> \(\hept{\begin{cases}y+1=1\\x-1=3\end{cases}}\)=> \(\hept{\begin{cases}y=0\\x=4\end{cases}}\)

Và: \(\hept{\begin{cases}y+1=3\\x-1=1\end{cases}}\) => \(\hept{\begin{cases}y=2\\x=2\end{cases}}\)

Áp dụng bất đẳng thức cho ba số  \(x,y,z\in Z^+\), ta được
\(x^2+y^2\ge2xy\)  \(\Rightarrow\)  \(\frac{x+y}{x^2+y^2}\le\frac{x+y}{2xy}\)  \(\left(1\right)\)

\(y^2+z^2\ge2yz\)   \(\Rightarrow\)  \(\frac{y+z}{y^2+z^2}\le\frac{y+z}{2yz}\)  \(\left(2\right)\)

\(z^2+x^2\ge2xz\)  \(\Rightarrow\)  \(\frac{z+x}{z^2+x^2}\le\frac{z+x}{2xz}\)  \(\left(3\right)\)

Cộng từng vế của  \(\left(1\right);\)  \(\left(2\right)\)  và  \(\left(3\right)\)  ta được  \(\frac{x+y}{x^2+y^2}+\frac{y+z}{y^2+z^2}+\frac{z+x}{z^2+x^2}\le\frac{x+y}{2xy}+\frac{y+z}{2yz}+\frac{z+x}{2xz}=\frac{1}{2y}+\frac{1}{2x}+\frac{1}{2z}+\frac{1}{2y}+\frac{1}{2x}+\frac{1}{2z}\)

\(\Leftrightarrow\)  \(P\le\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2015\)

Dấu  \("="\)  xảy ra  khi và chỉ khi  \(x=y=z=\frac{3}{2015}\)

Vậy,  \(P_{max}=2015\)  \(\Leftrightarrow\)   \(x=y=z=\frac{3}{2015}\)

\(P=\frac{xy}{x+y+2}=\frac{\left(x+y\right)^2-\left(x^2+y^2\right)}{2\left(x+y+2\right)}=\frac{\left(x+y\right)^2-4}{2\left(x+y+2\right)}\)

\(=\frac{\left(x+y+2\right)\left(x+y-2\right)}{2\left(x+y+2\right)}=\frac{x+y-2}{2}\)

mặt khác ta có :

\(x+y\le\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}=\sqrt{2\cdot4}=2\sqrt{2}\)

\(P\le\frac{2\sqrt{2}-2}{2}=\sqrt{2}-1\)

dấu băng xảy ra khi \(x=y=\sqrt{2}\)