\(\sqrt{2a^2+ab+2b^2}=\sqrt{\frac{5}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2}\ge\frac{5}{4}\left(a+b\right)\)

Tương tự cộng vế theo vế thì 

\(M\ge\frac{5}{4}\left(2a+2b+2c\right)=\frac{5}{2}\left(a+b+c\right)=\frac{5}{2}\cdot2019\)

Dấu "=" xảy ra tại \(a=b=c=\frac{2019}{3}\)

bài 4 có trên mạng nha chị.tí e làm cách khác

bài 5 chị tham khảo bđt min cop ski r dùng svác là ra ạ.giờ e coi đá bóng,coi xong nghĩ tiếp ạ.

e nhầm đoạn này r

\(\sqrt{2a^2+ab+2b^2}\ge\frac{\sqrt{5}}{2}\left(a+b\right)\) rồi cộng lại thì 

\(M\ge\frac{\sqrt{5}}{2}\left(2a+2b+2c\right)=\sqrt{5}\cdot2019\) ạ

Chắc lần này sẽ không nhầm nhưng hướng là thế ạ.

\(a.\) 

\(\text{*)}\) Áp dụng bđt  \(AM-GM\)  cho hai số thực dương  \(x,y,\)  ta có:

\(x+y\ge2\sqrt{xy}=2\)  (do  \(xy=1\)  )

\(\Rightarrow\)  \(3\left(x+y\right)\ge6\)

nên  \(D=x^2+y^2+\frac{9}{x^2+y^2+1}+3\left(x+y\right)\ge x^2+y^2+\frac{9}{x^2+y^2+1}+6\)

\(\Rightarrow\)  \(D\ge\left[\left(x^2+y^2+1\right)+\frac{9}{x^2+y^2+1}\right]+5\)

\(\text{*)}\)  Tiếp tục áp dụng bđt  \(AM-GM\)  cho bộ số loại hai số không âm gồm \(\left(x^2+y^2+1;\frac{9}{x^2+y^2+1}\right),\)  ta có:

\(\left[\left(x^2+y^2+1\right)+\frac{9}{x^2+y^2+1}\right]\ge2\sqrt{\left(x^2+y^2+1\right).\frac{9}{\left(x^2+y^2+1\right)}}=6\)

Do đó,  \(D\ge6+5=11\)

Dấu  \("="\)  xảy ra khi  \(x=y=1\)

Vậy,  \(D_{min}=11\)  \(\Leftrightarrow\)  \(x=y=1\)

\(b.\) Bạn tìm điểm rơi rồi báo lại đây

b

\(8\sqrt{x-1}=4.2.\sqrt{x-1}.1\le4.\left(x-1+1\right)=4x\)

\(x.\sqrt{16-3x^2}\le\frac{x^2+16-3x^2}{2}=8-x^2\)

\(\Rightarrow y\le4x-x^2+8=-\left(x-2\right)^2+12\le12\)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=2\)

\(\left\{{}\begin{matrix}a;b;c\ge0\\a+b+c=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow0\le a;b;c\le1\)

\(\Rightarrow a\left(a-1\right)\le0\Rightarrow a^2\le a\)

\(\Rightarrow\sqrt{2a^2+3a+4}=\sqrt{a^2+a^2+3a+4}\le\sqrt{a^2+a+3a+4}=a+2\)

Tương tự và cộng lại:

\(\Rightarrow M\le a+2+b+2+c+2=7\)

\(M_{max}=7\) khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;1\right)\) và các hoán vị

Lời giải:

BĐT cần chứng minh tương đương với:

\(\frac{bc}{\sqrt{5abc(3a+2b)}}+\frac{ac}{\sqrt{5abc(3b+2c)}}+\frac{ab}{\sqrt{5abc(3c+2a)}}\geq \frac{3}{5}(*)\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(5abc(3a+2b)=5ab.(3ac+2bc)\leq \left(\frac{5ab+3ac+2bc}{2}\right)^2\)

\(\Rightarrow \frac{bc}{\sqrt{5abc(3a+2b)}}\geq \frac{2bc}{5ab+3ac+2bc}=\frac{2(bc)^2}{5ab^2c+3abc^2+2b^2c^2}\)

Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại, cộng theo vế ta suy ra:

\(\sum \frac{bc}{\sqrt{5abc(3a+2b)}}\geq \sum \frac{2(bc)^2}{5ab^2c+3abc^2+2b^2c^2}(1)\)

Áp dụng BĐT Cauchy_Schwarz và AM-GM:

\(\sum \frac{2(bc)^2}{5ab^2c+3abc^2+2b^2c^2}\geq 2.\frac{(bc+ab+ac)^2}{2[(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2+4abc(a+b+c)]}=\frac{(ab+bc+ac)^2}{(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2+4abc(a+b+c)}\)

\(=\frac{(ab+bc+ac)^2}{(ab+bc+ac)^2+2abc(a+b+c)}\geq \frac{(ab+bc+ac)^2}{(ab+bc+ac)^2+\frac{2}{3}(ab+bc+ac)^2}=\frac{3}{5}(2)\)

Từ $(1);(2)$ suy ra $(*)$ đúng. BĐT được chứng minh.

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

Câu 3: 

a: =>|2x-1|=4

=>2x-1=4 hoặc 2x-1=-4

=>x=-3/2 hoặc x=5/2

b: \(\Leftrightarrow2\sqrt{x+1}+3\sqrt{x+1}-2\sqrt{x+1}=5\)

=>3căn x+1=5

=>x+1=25/9

=>x=16/9

\(a,\left(\sqrt{50}+\sqrt{48}-\sqrt{72}\right)2\sqrt{3}\)

\(=\left(5\sqrt{2}+4\sqrt{3}-6\sqrt{2}\right)2\sqrt{3}\)

\(=\left(4\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)2\sqrt{3}\)

\(=24-2\sqrt{6}\)

1. 

Ta có: \(\frac{2a+3b+3c+1}{2015+a}+\frac{3a+2b+3c}{2016+b}+\frac{3a+3b+2ac-1}{2017+c}\)

\(=\frac{b+c+4033}{2015+a}+\frac{c+a+4032}{2016+b}+\frac{a+b+4031}{2017+c}\)

Đặt \(\hept{\begin{cases}2015+a=x\\2016+b=y\\2017+c=z\end{cases}}\)

\(P=\frac{b+c+4033}{2015+a}+\frac{c+a+4032}{2016+b}+\frac{a+b+4031}{2017+c}\)

\(=\frac{y+z}{x}+\frac{z+x}{y}+\frac{x+y}{z}=\frac{y}{x}+\frac{z}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{y}+\frac{x}{z}+\frac{y}{z}\)

\(\ge2\sqrt{\frac{y}{x}\cdot\frac{x}{y}}+2\sqrt{\frac{z}{x}\cdot\frac{x}{z}}+2\sqrt{\frac{y}{z}\cdot\frac{z}{y}}\left(Cosi\right)\)

Dấu "=" <=> x=y=z => \(\hept{\begin{cases}a=673\\b=672\\c=671\end{cases}}\)

Vậy Min P=6 khi a=673; b=672; c=671

Câu 1 thử cộng 3 vào P xem 

Rồi áp dụng BDT Cauchy - Schwars : a^2/x + b^2/y + c^2/z ≥(a + b + c)^2/(x + y + z)