\(f\left(3\right).f\left(-2\right)=\left(9a+3b+c\right)\left(4a-2b+c\right)\)

\(=\left[3\left(a+b\right)+6a+c\right]\left[-2\left(a+b\right)+6a+c\right]\)

\(=\left(6a+c\right)\left(6a+c\right)=\left(6a+c\right)^2\ge0\) (đpcm)

Tks anh zai

Theo bài ra ta có : 

\(f\left(3\right)=a.3^2+3b+c=9a+3b+c\)

\(f\left(-2\right)=a\left(-2\right)^2+b\left(-2\right)+c=4a-2b+c\)

hay \(f\left(3\right).f\left(2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(9a+3b+c\right)\left(4a-2b+c\right)=0\)

Dấu ''='' xảy ra <=> \(a=b=c=0\)( thỏa mãn điều kiện )

Giải:

Thay \(b=3a+c\) vào đa thức \(f\left(x\right)\) ta được:

\(f\left(x\right)=ax^3+\left(3a+c\right)x^2+cx+d\)

\(=ax^3+3ax^2+cx^2+cx+d\)

Từ đó ta có:

\(f\left(1\right)=a.1^3+3a.1^2+c.1^2+c.1+d\)

\(=a+3a+c+c+d=4a+2c+d\left(1\right)\)

Ta lại có:

\(f\left(-2\right)=a.\left(-2\right)^3+3a.\left(-2\right)^2+c.\left(-2\right)^2\) \(+c.\left(-2\right)+d\)

\(=-8a+12a+4c-2c+d=\) \(4a+2c+d\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)\) và \(\left(2\right)\) suy ra:

\(f\left(1\right)=f\left(-2\right)\left(=4a+2c+d\right)\) (Đpcm)

Thay b = 3a + c vào f(x) = ax³ + bx² + cx + d

Ta có: ax³ + (3a + c)x² + cx + d = ax³ + 3ax² + cx² + cx + d

Lại có: f(1) = a . 1³ + 3a . 1² + c . 1² + c . 1 + d = a + 3a + c + c + d = 4a + 2c + d           (1)

và f(-2) = a . (-2)³ + 3a . (-2)² + c. (-2)² + c . (-2) + d = -8a + 12a + 4c - 2c + d = 4a + 2c + d          (2)

Từ (1) và (2) => f(1) = f(-2)   (đpcm)

Ta có : 

\(f\left(x\right)=ax^3+bx^2+cx+d\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}f\left(1\right)=a.1^3+b.1^2+c.1+d\\f\left(-2\right)=a.\left(-2\right)^3+b.\left(-2\right)^2+c.2+d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}f\left(1\right)=a+b+c+d\\f\left(2\right)=a.-8+b.4+c.2+d\end{cases}}\)

Do  b = 3a = c 

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}f\left(1\right)=3a+3a+3a+d\\f\left(-2\right)=a.-8+3a.4+3a.2+d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}f\left(1\right)=9a+d\\f\left(-2\right)=-8a+12a+6a+d\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}f\left(1\right)=9a+d\\f\left(-2\right)=10a+d\end{cases}}\)

Đến bước này , bạn tự làm tiếp nhé . 

Chúc bạn học tốt !!!