Đề:Cho m,n là các số nguyên dương với \(n>1\).Đặt \(P=m^2n^2-4m+4n\)

Chứng minh rằng nếu P là số chính phương thì m=n

Giả sử \(m>n>1\)

 Xét \(\left(mn^2-2\right)^2-n^2\left(m^2n^2-4m+4n\right)\)

\(=m^2n^4-4mn^2+4-mn^4+4mn^2-4n^3\)

\(=-4n^3+4< 0\) với  \(\forall n>1\)

\(\Rightarrow\left(mn^2-2\right)^2< n^2\left(m^2n^2-4n+4n\right)\left(1\right)\)

Xét \(n^2\left(m^2n^2-4m+4n\right)-m^2n^4\)

\(=m^2n^4-4mn^2+4n^3-m^2n^4\)

\(=-4mn^2+4n^3\)

\(=-4n^2\left(m-n\right)< 0\) với \(\forall m>n>1\)

\(\Rightarrow n^2\left(m^2n^2-4m+4n\right)< m^2n^4\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow\left(mn^2-2\right)^2< n^2\left(m^2n^2-4m+4n\right)< m^2n^4\)

\(\Rightarrow\left(\frac{mn^2-2}{n}\right)^2< P< \left(mn\right)^2\)

Xét \(\frac{mn^2-2}{n}-\left(mn-1\right)=\frac{n-2}{n}\ge0\)  với \(\forall n\ge2\)

\(\Rightarrow\frac{mn^2-2}{n}\ge mn-1\)

\(\Rightarrow\left(mn-1\right)^2< P< \left(mn\right)^2\left(VL\right)\)

Kẹp giữa 2 số chính phương liên tiếp thì không tồn tại số chính phương nào.OK?

Giả sử \(m< n\)

\(\Rightarrow P>m^2n^2\left(3\right)\)

Xét \(m^2n^2-4m+4n-\left(mn+2\right)^2\)

\(=m^2n^2-4m+4n-m^2n^2-4mn-4\)

\(=n-m-mn-1=n\left(1-m\right)-m-1< 0\) 

\(\Rightarrow P< \left(mn+2\right)^2\left(4\right)\)

Từ \(\left(3\right);\left(4\right)\Rightarrow\left(mn\right)^2< P< \left(mn+2\right)^2\)

Để P là số chính phương thì \(P=\left(mn+1\right)^2\)

\(\Rightarrow m^2n^2-4m+4n=m^2n^2+2mn+1\)

\(\Rightarrow-4m+4n-2mn=1\) quá VL

Với  \(m=n\Rightarrow P=m^2n^2=\left(mn\right)^2\left(Lscp\right)\) cực kỳ HL:v

P/S:Ko chắc đâu nha.m thử làm bài 1 cấy.t cụng ra rồi nhưng coi cách m cho nó chắc:v Định dùng cách kẹp khác mà đề cho chặt quá:((