Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối của CB lấy điểm N sao cho AM =CN . Gọi Ilà giao điểm của MN và CD.

GọI E là trung điểm của MN, tia DE cắt BC tại F. Qua M vẽ đường thẳng song song với  AD cắt DF tại H.

Chứng minh rằng : Tứ giác MFNH là hình thoi.

Chứng minh : Chu vi tam giác BMF không đổi khi m di động trên cạnh AB. 

Cho \(\Delta ABC\) cân tại A. Trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho: BD=CE. Kẻ BH vuông góc với AD tại H, kẻ CE vuông góc với AE tại K. Gọi I là giao điểm của 2 đường thẳng BH và CK. Chứng minh rằng:
a, \(\Delta ABH\)=\(\Delta ACK\)
b, AI là tia phân giác của ∠DAE
c, HK//DE

Cho đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ tia Ax và By sao cho BAx  = 120 độ, ABy=60 độ. Trên tia By
lấy điểm C và trên tia đối của tia Ax lấy điểm D sao cho AD = BC. Gọi O là giao điểm của AB và CD.
a. Chứng minh O là trung điểm của mỗi đoạn thẳng AB, CD.
b. Qua O vẽ một đường thẳng cắt đường thẳng AD và BC lần lượt ở E và F. Chứng minh O là trung điểm của EF.
c. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC. Chứng minh O là trung điểm của MN.

Cho tam giác ABC vuông tại A có B ^ =   55 ° . Trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B, vẽ tia Cx vuông góc với AC. Trên tia Cx lấy điểm D sao cho CD = AB.

a) Tính số đo  A C B ^

b) Chứng minh ∆ A B C   =   ∆ C D A  và AD//BC.

c) Kẻ A H ⊥   B C   ( H ∈   B C ) và C K ⊥   A D   ( K   ∈   A D ) . Chứng minh BH = DK.

d) Gọi I là trung điểm của AC. Chứng minh ba điểm H, I, K thẳng hàng và 3 đường thẳng AC, HK, BD cùng gặp nhau ở I.