a) giả sử: A = n(n+1) , có 2 trường hợp:
nếu n chẵn thì n chia hết cho 2 do đó A chia hết chia 2
nếu n lẻ thì n+1 chẵn do đó n+1 chia hết cho 2 nên A chia hết cho 2

Đặt tích 3 số tự nhiên liên tiếp là T = a * (a + 1) * (a + 2)
-Chứng minh T chia hết cho 2: Chỉ có 2 trường hợp
 +Nếu a chia hết cho 2 (a chẵn) => T chia hết cho 2
 +Nếu a chia 2 dư 1 (a lẻ) => a + 1 chia hết cho 2 => T chia hết cho 2
-Chứng minh T chia hết cho 3: Có 3 trường hợp
 +Nếu a chia hết cho 3 => T chia hết cho 3
 +Nếu a chia 3 dư 1 => a + 2 chia hết cho 3 => T chia hết cho 3
 +Nếu a chia 3 dư 2 => a + 1 chia hết cho 3 => T chia hết cho 3
2 và 3 nguyên tố cùng nhau 
=> T chia hết cho 2.3 = 6

a) (n+3)\(^2\)- (n+1)\(^2\) = (n+3-n-1).(n+3+n+1) = 2(2n+4) = 4(n+2) 

Sẽ ko chia hết cho 8 nếu n là số lẻ!

b) (n+6)\(^2\)- (n-6)\(^2\) = (n+6-n+6).(n+6+n-6) = 12.2n = 24n chia hết cho 6 với mọi n

Xin 1 like nha bạn. Thx bạn, chúc bạn học tốt 

1) Mik lấy VD luôn:

VD: số 51, 51 chia hết cho 3, 51 ko chia hết cho 6.

2) 

Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là a, a +1, a + 2 ( a thuộc N ) 
Ta xét 3 trường hợp :
TH1: a chia cho 3 dư 0
Suy ra : a chia hết cho 3
TH2: a chia cho 3 dư 1 
Ta có : a = 3q + 1
a + 2 = 3q +1 + 2
a + 2 = 3q + 3
a + 2 = 3q + 3 .1
a + 2 = 3.(q + 1 )
Suy ra : a +2 chia hết cho 3 
TH3 : a chia cho 3 dư 2
Ta có : a = 3q + 2
a + 1 = 3q +2 + 1
a + 1 = 3q + 3
a + 1 = 3q + 3 .1
a + 1 = 3.(q + 1)
Suy ra : a + 1 chia hết cho 3 
Vậy trong 3 số tự nhiên liên tiếp có duy nhất 1 số chia hết cho 3.

\(a:72\) dư 24 \(\Rightarrow a⋮48\)

Mà \(48⋮2;48⋮3;48⋮6\)

\(\Rightarrow a⋮2;a⋮3;a⋮6\)

1/

Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là n; n+1; n+2

+ Nếu \(n⋮3\) Bài toán đã được c/m

+ Nếu n chia 3 dư 1 => \(n+2⋮3\)

+ Nếu n chia 3 dư 2 => \(n+1⋮3\)

Vậy trong 3 số tự nhiên liên tiếp bao giờ cũng có 1 số chia hết cho 3

2/ \(a-10⋮24\) => a-10 đồng thời chia hết cho 3 và 8 vì 3 và 8 nguyên tố cùng nhau

\(\Rightarrow a-10=8k\Rightarrow a=8k+10⋮2\)

\(a=8k+10=8k+8+2=8\left(k+1\right)+2=2.4.\left(k+1\right)+2\)

\(2.4.\left(k+1\right)⋮4\) => a không chia hết cho 4

3/

a/ Gọi 3 số TN liên tiếp là n; n+1; n+2

\(\Rightarrow n+n+1+n+2=3n+3=3\left(n+1\right)⋮3\)

b/ Gọi 4 số TN liên tiếp là n; n+1; n+2; n+3

\(\Rightarrow n+n+1+n+2+n+3=4n+6=4n+4+2=4\left(n+1\right)+2\)

Ta có \(4\left(n+1\right)⋮4\) => tổng 4 số TN liên tiếp không chia hết cho 4

\(A=n^3-n=n\left(n^2-1\right)=n\left(n-1\right)\left(n+1\right)\)

Tich trên là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp

\(\left(n-1\right)n\left(n+1\right)⋮24\) khi đồng thời chia hết cho 3 và 8

+ C/m tích trên chia hết cho 3

Nếu \(n⋮3\Rightarrow A⋮3\)

Nếu n chia 3 dư 1 \(\Rightarrow n-1⋮3\Rightarrow A⋮3\)

Nếu n chia 3 dư 2 \(\Rightarrow n+1⋮3\Rightarrow A⋮3\)

\(\Rightarrow A⋮3\forall n\)

C/m tích trên chia hết cho 8

Do n là số tự nhiên lẻ

Nếu \(n=1\Rightarrow A=0⋮8\)

Nếu \(n\ge3\) => (n-1) và (n+1) chẵn

Đặt \(n=2k+1\left(k\ge1\right)\)

\(\Rightarrow A=\left(2k+1-1\right)\left(2k+1\right)\left(2k+1+1\right)=\)

\(=2k\left(2k+1\right)\left(2k+2\right)=\left(4k^2+2k\right)\left(2k+2\right)=\)

\(=8k^3+8k^2+4k^2+4k=8\left(k^3+k^2\right)+4k\left(k+1\right)\)

Với k chẵn đặt \(k=2p\Rightarrow4k\left(k+1\right)=8p\left(2p+1\right)⋮8\)

\(\Rightarrow A=8\left(k^3+k^2\right)+8p\left(2p+1\right)⋮8\)

Với k lẻ đặt \(k=2p+1\Rightarrow4k\left(k+1\right)=4\left(2p+1\right)\left(2p+1+1\right)=\)

\(4\left(2p+1\right)2\left(p+1\right)=8\left(2p+1\right)\left(p+1\right)⋮8\)

\(\Rightarrow A⋮8\forall n\)

\(\Rightarrow A⋮3x8\forall n\Rightarrow A⋮24\forall n\)

đâu phải tích của 2 số đều chia hết cho 2 đâu

sao tích 2 số tự nhiên lại chia hết cho 2 . VD 3*5 =15 đâu chia hết cho 2. đúng ra phải là 2 số tự nhiên liên tiếp chứ!!!

Mình có cách khác nè Như:

à a + b chia hết cho 8

VÌ : a = 24.k +8

24k  chia hết cho  8    ; 8  chia hết cho  8   => 24k + 8  chia hết cho  8 ( a chia hết cho  8)

       b = 24.c + 16

24c  chia hết cho  8   ;  16 chia hết cho  8  => 24c + 16  chia hết cho  8 ( b  chia hết cho  8)

Vậy: a + b  chia hết cho  8

à a + b   chia hết cho  12

Vì : a = 24.k +8

 24k chia hết cho 12  ;    8 không chia hết cho 12 ( Thiếu 4 để chia hết cho 12)

     b = 24. c + 16 

24c chia hết cho 12  ; 16 không chia hết cho 12  (Dư 4 để chia hết cho 12)

Ta có:

 Lấy phần 4 bị dư đem cộng với 8 bị thiếu 4 thì sẽ được 12 :        8 + 4 = 12   ;       16 - 4 = 12

=> 24k chia hết cho 12  ;    12 chia hết cho 12    nên a chia hết cho 12

     24c chia hết cho 12  ;    12 chia hết cho 12    nên b chia hết cho 12

Vậy: a + b chia hết cho 12   

Mình có cách khác nè Như:

à a + b chia hết cho 8

VÌ : a = 24.k +8

24k  chia hết cho  8    ; 8  chia hết cho  8   => 24k + 8  chia hết cho  8 ( a chia hết cho  8)

       b = 24.c + 16

24c  chia hết cho  8   ;  16 chia hết cho  8  => 24c + 16  chia hết cho  8 ( b  chia hết cho  8)

Vậy: a + b  chia hết cho  8

à a + b   chia hết cho  12

Vì : a = 24.k +8

 24k chia hết cho 12  ;    8 không chia hết cho 12 ( Thiếu 4 để chia hết cho 12)

     b = 24. c + 16 

24c chia hết cho 12  ; 16 không chia hết cho 12  (Dư 4 để chia hết cho 12)

Ta có:

 Lấy phần 4 bị dư đem cộng với 8 bị thiếu 4 thì sẽ được 12 :        8 + 4 = 12   ;       16 - 4 = 12

=> 24k chia hết cho 12  ;    12 chia hết cho 12    nên a chia hết cho 12

     24c chia hết cho 12  ;    12 chia hết cho 12    nên b chia hết cho 12

Vậy: a + b chia hết cho 12   

Ta có: a chia cho 24 dư 8 => a chia hết cho 8 vì cả số chia (24 ) và phần dư (8) đều chia hết cho 8

          b chia 24 dư 16 => b chia hết cho 8 vì cả số chia (24) và phần dư(16) đều chia hết cho 8

Vậy (a + b) chia hết cho 8

a chia 24 dư 8 => a=24k+8        (k \(\in\) N)

b chia 24 dư 16 => b=24k+16 

=>a+b=(24k+8)+(24k+16)=48k+24

Vì 48k chia hết cho 8,24 chia hết cho 8

=>a+b chia hết cho 8

Mặt khác: 48k chia hết cho 12,24 chia hết cho 12

=>a+b chia hết cho 12