trong \(1\) tam giác , ta luôn có :

\(b-c< a\) 

\(\Leftrightarrow\left(b-c\right)^2< a^2\)

\(\Leftrightarrow b^2-2bc+c^2< a^2\)

\(\Leftrightarrow b^2+c^2-a^2< 2bc\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left(b^2+c^2-a^2\right)^2< \left(2bc\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left(b^2+c^2-a^2\right)^2-4b^2c^2< 0\left(đpcm\right)\)

Trong 1 tam giác , ta luôn có :

b - c < a

<=> (b-c)² < a²

<=> b² - 2bc +c² < a²

<=> b² +c² - a² < 2bc

<=> (b² +c² -a² )² < (2bc)²

<=> ( b² + c²-a²)² - 4b²c² < 0 (dpcm)

Bài này không đúng nhé. Với a = b = c = 1 thì bất đẳng thức sai. Tuy nhiên bài này đúng theo chiều ngược lại.

Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức phụ sau đây \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)

\(< =>2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)

\(< =>2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx\ge0\)

\(< =>\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\)*đúng*

Đặt \(\left\{2a+2b-c;2b+2c-a;2c+2a-b\right\}\rightarrow\left\{x;y;z\right\}\)

Vì a,b,c là ba cạnh của 1 tam giác nên x,y,z dương 

Ta có : \(x^2+y^2+z^2=9\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(x+y=c+a+4b\); \(y+z=a+b+4c\); \(z+x=b+c+4a\)

Bất đẳng thức cần chứng minh quy về : \(\frac{x^3}{y+z}+\frac{y^3}{x+z}+\frac{z^3}{x+y}\ge\frac{x^2+y^2+z^2}{2}\)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có : 

\(\frac{x^3}{y+z}+\frac{x\left(y+z\right)}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^3.x\left(y+z\right)}{\left(y+z\right)4}}=2\sqrt{\frac{x^4}{4}}=2\frac{x^2}{2}=x^2\)

\(\frac{y^3}{x+z}+\frac{y\left(x+z\right)}{4}\ge2\sqrt{\frac{y^3.y\left(x+z\right)}{\left(x+z\right)4}}=2\sqrt{\frac{y^4}{4}}=2\frac{y^2}{2}=y^2\)

\(\frac{z^3}{x+y}+\frac{z\left(x+y\right)}{4}\ge2\sqrt{\frac{z^3.z\left(x+y\right)}{\left(x+y\right)4}}=2\sqrt{\frac{z^4}{4}}=2\frac{z^2}{2}=z^2\)

Cộng theo vế các bất đẳng thức cùng chiều ta được :

\(\frac{x^3}{y+z}+\frac{y^3}{x+z}+\frac{z^3}{x+y}+\frac{x\left(y+z\right)}{4}+\frac{y\left(x+z\right)}{4}+\frac{z\left(x+y\right)}{4}\ge x^2+y^2+z^2\)

\(< =>\frac{x^3}{y+z}+\frac{y^3}{x+z}+\frac{z^3}{x+y}+\frac{xy+yz+zx+xy+yz+zx}{4}\ge x^2+y^2+z^2\)

\(< =>\frac{x^3}{y+z}+\frac{y^3}{x+z}+\frac{z^3}{x+y}+\frac{xy+yz+zx}{2}\ge x^2+y^2+z^2\)

\(< =>\frac{x^3}{y+z}+\frac{y^3}{x+z}+\frac{z^3}{x+y}\ge x^2+y^2+z^2-\frac{xy+yz+zx}{2}\)

Sử dụng bất đẳng thức phụ \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)khi đó ta được :

\(\frac{x^3}{y+z}+\frac{y^3}{x+z}+\frac{z^3}{y+x}\ge x^2+y^2+z^2-\frac{x^2+y^2+z^2}{2}\)

\(< =>\frac{x^3}{y+z}+\frac{y^3}{z+x}+\frac{z^3}{x+y}\ge\frac{x^2+y^2+z^2}{2}\left(đpcm\right)\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z< =>a=b=c\)

Vậy ta có điều phải chứng minh

a: \(A=\left(b^2+c^2-a^2\right)^2-4b^2c^2\)

\(=\left(b^2+c^2-a^2\right)^2-\left(2bc\right)^2\)

\(=\left(b^2-2bc+c^2-a^2\right)\left(b^2+2bc+c^2-a^2\right)\)

\(=\left[\left(b+c\right)^2-a^2\right]\left[\left(b-c\right)^2-a^2\right]\)

\(=\left(b+c-a\right)\left(b+c+a\right)\left(b-c-a\right)\left(b-c+a\right)\)

b: a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác

=>b+c>a và a+b>c và a+c>b

=>b+c-a>0 và a+b-c>0 và a+c-b>0

=>b+c-a>0 và b-(c+a)<0 và a+b-c>0

=>(b+c-a)[b-(c+a)][a+b-c](a+b+c)<0

=>A<0

bài này ta sẽ phải vận dụng linh hoạt hằng đẳng thức hiệu 2 bình phương là chính: \(a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)\)

\(4b^2c^2-\left(b^2+c^2-a^2\right)^2=\left(2bc\right)^2-\left(b^2+c^2-a^2\right)^2\)

\(=\left(2bc-b^2-c^2+a^2\right).\left(2bc+b^2+c^2-a^2\right)\)

\(=\left(a^2+2bc-b^2-c^2\right)\left(2bc+b^2+c^2-a^2\right)=\left[a^2-\left(b^2-2bc+c^2\right)\right].\left[\left(b^2+2bc+c^2\right)-a^2\right]\)

\(=\left[a^2-\left(b-c\right)^2\right].\left[\left(b+c\right)^2-a^2\right]=\left(a-b+c\right)\left(a+b+c\right)\left(b+c-a\right)\left(b+c+a\right)\)

Vì a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên theo bất đẳng thức tam giác: 

+a+c > b => a+c-b > 0

+b+c > a=>b+c-a > 0

+a+b+c và b+c+a hiển hiên đều lớn hơn 0

Nên \(\left(a-b+c\right)\left(a+b+c\right)\left(b+c-a\right)\left(b+c+a\right)>0\)

\(=>4b^2c^2-\left(b^2+c^2-a^2\right)^2>0\left(đpcm\right)\)

bài 28

\(P=\frac{\left[a^2-\left(b+c\right)^2\right]\left(a+b-c\right)}{\left(a+b+c\right)\left[\left(a-c\right)^2-b^2\right]}\)

=>\(P=\frac{\left(a-b-c\right)\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)}{\left(a+b+c\right)\left(a-c-b\right)\left(a-c+b\right)}\)

=>\(P=1\)

Bài 30 phải là xy+y+x=3.

Ta có: xy+y+x=3 => (x+1)(y+1)=4₍₁₎

            yz+y+z=8 => (y+1)(z+1)=9₍₂₎

           zx+x+z=15 => (x+1)(z+1)=16₍₃₎

Nhân (1), (2) và (3) theo vế, ta có:

           [(x+1)(y+1)(z+1)]²=576

     =>  (x+1)(y+1)(z+1)=24_(I) hoặc (x+1)(y+1)(z+1)=-24(II)

Lần lượt thay (1),(2),(3) vào (I),(II), tính x,y,z.

Kết quả: P=43/6 hoặc P=-79/6