* Vì E đối xứng với D qua AB

⇒ AB là đường trung trực của đoạn thẳng DE

⇒ AD = AE (tính chất đường trung trực)

Nên ∆ ADE cân tại A

Suy ra: AB là đường phân giác của ∠ (DAE) ⇒ ∠ A 1 =  ∠ A 2

* Vì F đối xứng với D qua AC

⇒ AC là đường trung trực của đoạn thẳng DF

⇒ AD = AF (tính chất đường trung trực)

Nên  ∆ ADF cân tại A

Suy ra: AC là phân giác của  ∠ (DAF)

⇒  ∠ A 3 =  ∠ A 4

∠ (EAF) =  ∠ EAD) +  ∠ (DAF) = ∠ A 1 +  ∠ A 2 +  ∠ A 3 +  ∠ A 4 = 2( ∠ A 1 +  ∠ A 3 ) = 2 . 90 0 = 180 0

⇒ E, A, F thẳng hàng có AE = AF = AD

Nên A là trung điểm của EF hay điểm E đối xứng với điểm F qua điểm A.

* Vì E đối xứng với D qua AB

⇒ AB là đường trung trực của đoạn thẳng DE

⇒ AD = AE (tính chất đường trung trực)

Nên ΔADE cân tại A

Suy ra: AB là đường phân giác của ∠(DAE) ⇒ ∠A1= ∠A2

⇒ AC là đường trung trực của đoạn thẳng DF

⇒ AD = AF (tính chất đường trung trực)

Nên ΔADF cân tại A

Suy ra: AC là phân giác của ∠(DAF)

⇒ ∠A3= ∠A4

∠(EAF) = ∠(EAD) + ∠(DAF) = ∠A1+ ∠A2+ ∠A3+ ∠A4= 2(∠A1+ ∠A3) = 2.90^o = 180^o

⇒ E, A, F thẳng hàng có AE = AF = AD

Nên A là trung điểm của EF hay điểm E đối xứng với điểm F qua điểm A.

Tứ giác ADBM là hình thoi ⇒ AM // DB và AM = AD

Hay AM // BC và AM = AD (1)

Tứ giác ADCN là hình thoi ⇒ AN // DC và AD = AN

Hay AN // BC và AN = AD (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AM trùng với AN hay M, A, N thẳng hàng

Và AM = AN nên A là trung điểm của MN

Vậy điểm M và điểm N đối xứng qua điểm A.

a) E đối xứng với D qua AB=> AD=AE và \(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\)

F đối xứng với D qua AC=> AD=AF và \(\widehat{A_3}=\widehat{A_4}\)

\(\Rightarrow AE=\text{AF}\left(=AD\right),\widehat{DAE}+\widehat{D\text{AF}}=2\left(\widehat{A_1}+\widehat{A_3}\right)=2.90^0=180^0\)=> E,A,F thẳng hàng.

Vậy E đối xứng với F qua A(ĐPCM)

b) Ta có: EF=2AD nên EF nhỏ nhất => AD nhỏ nhất => D là chân đường cao kẻ từ A đến BC

 Võ Hồng Nhung                                                                                                                 

               1 phút trước (15:05)

Cho tam giác ABC. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, AC, AB. Gọi O là 1 điểm bất kì. A' là điểm đối xứng với O qua D, B' là điểm đối xứng với O qua E, C' là điểm đối xứng với O qua F. Chứng minh AA', BB', CC' đồng quy tại 1 điểm.

Điểm D đối xứng điểm H qua trục AB.

Suy ra AB là đường trung trực của HD

⇒ AH = AD (tính chất đường trung trực)

⇒ ∆ ADH cân tại A

Suy ra: AB là tia phân giác của ∠ (DAH)

⇒  ∠ (DAB) =  ∠ A 1

Điểm H và điểm E đối xứng qua trục AC

⇒ AC là đường trung trực của HE

⇒ AH = AE (tính chất đường trung trực) ⇒  ∆ AHE cân tại A

Suy ra: AC là đường phân giác của góc (HAE) ⇒  ∠ A 2  =  ∠ (EAC)

⇒ D, A, E thẳng hàng

Ta có: AD = AE (vì cùng bằng AH)

Suy ra điểm A là trung điểm của đoạn DE.

Vậy điểm D đối xứng với điểm E qua điểm A

a: Xét tứ giác ADME có

góc ADM=góc AEM=góc DAE=90 độ

nên ADME là hình chữ nhật

b: Xét tứ giác AMBP có

D là trung điểm chung của AB và MP

MA=MB

Do đó: AMBP là hình thoi

=>ABlà phân giác của góc MAP(1)

c: Xét tứ giác AMCQ có

E là trung điểm chung của AC và MQ

MA=MC

Do đó: AMCQ là hình thoi

=>AC là phân giác của góc MAQ(2)

Từ (1), (2) suy ra góc PAQ=2*90=180 độ

=>P,A,Q thẳng hàng

mà AP=AQ

nên A là trung điểm của PQ