1. Phương pháp 1: ( Hình 1)

        Nếu  thì ba điểm A; B; C thẳng hàng.

    2. Phương pháp 2: ( Hình 2)

        Nếu AB // a và AC // a thì ba điểm A; B; C thẳng hàng.

       (Cơ sở của phương pháp này là: tiên đề Ơ – Clit- tiết 8- hình 7)

    3. Phương pháp 3: ( Hình 3)

        Nếu AB  a ; AC  A thì ba điểm A; B; C thẳng hàng.

        ( Cơ sở của phương pháp này là: Có một và chỉ một đường thẳng

        a^’ đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng a cho trước

        - tiết 3 hình học 7)

        Hoặc A; B; C cùng thuộc một đường trung trực của một

        đoạn thẳng .(tiết 3- hình 7)

    4. Phương pháp 4: ( Hình 4)

        Nếu tia OA và tia OB là hai tia phân giác của góc xOy

        thì ba điểm O; A; B thẳng hàng.

        Cơ sở của phương pháp này là:                                                        

        Mỗi góc có một và chỉ một tia phân giác .

     * Hoặc : Hai tia OA và OB cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox ,

                   thì ba điểm O, A, B thẳng hàng.

    5. Nếu K là trung điểm BD, K^’ là giao điểm của BD và AC. Nếu K^’

       Là trung điểm BD  thì K^’  K thì A, K, C thẳng hàng.

      (Cơ sở của phương pháp này là: Mỗi đoạn thẳng chỉ có một trung điểm)

C. Các ví dụ minh họa cho tùng phương pháp:

                                                                Phương pháp 1

    Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông ở A, M là trung điểm AC. Kẻ tia Cx vuông góc CA

                     (tia Cx và điểm B ở hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AC). Trên tia Cx lấy điểm

                     D sao cho CD = AB.

                     Chứng minh ba điểm B, M, D thẳng hàng.

     Gợi ý: Muốn B, M, D thẳng hàng cần chứng minh

               Do nên cần chứng minh

BÀI GIẢI:

               AMB và CMD có:                                                       

                   AB = DC (gt).

                    MA = MC (M là trung điểm AC)                                              

               Do đó: AMB = CMD (c.g.c). Suy ra:

               Mà   (kề bù) nên .

               Vậy ba điểm B; M; D thẳng hàng.

    Ví dụ 2. Cho tam giác ABC. Trên tia đối của AB lấy điểm D mà  AD = AB, trên tia đối

                     tia AC lấy điểm E mà AE = AC. Gọi M; N lần lượt là các điểm trên BC và ED

                      sao cho CM = EN.

                    Chứng minh ba điểm M; A; N thẳng hàng.

Gợi ý: Chứng minh  từ đó suy ra ba điểm M; A; N thẳng hàng.

BÀI GIẢI (Sơ lược)

          ABC = ADE (c.g.c)

          ACM = AEN (c.g.c)

          Mà  (vì ba điểm E; A; C thẳng hàng) nên

Vậy ba điểm M; A; N thẳng hàng (đpcm)

BÀI TẬP THỰC HÀNH CHO PHƯƠNG PHÁP 1

Bài 1: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AC, trên tia đối

          của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BE và

          CD.

          Chứng minh ba điểm M, A, N thẳng hàng.

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông ở A có . Vẽ tia Cx  BC (tia Cx và điểm A ở

          phía ở cùng phía bờ BC), trên tia Cx lấy điểm E sao cho CE = CA. Trên tia đối của tia

          BC lấy điểm F sao cho BF = BA.

          Chứng minh ba điểm E, A, F thẳng hàng.

Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A, điểm D thuộc cạnh AB. Trên tia đối của tia CA lấy điểm

          E sao cho CE = BD. Kẻ DH và EK vuông góc với BC (H và K thuộc đường thẳng BC)

          Gọi M là trung điểm HK.

          Chứng minh ba điểm D, M, E thẳng hàng.

Bài 4: Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AB, kẻ

          Hai tia Ax và By sao cho .Trên Ax lấy hai điểm C và E(E nằm giữa A và C),

          trên By lấy hai điểm D và F ( F nằm giữa B và D) sao cho AC = BD, AE = BF.

          Chứng minh ba điểm C, O, D thẳng hàng , ba điểm E, O, F thẳng hàng.

Bài 5.Cho tam giác ABC . Qua A vẽ đường thẳng xy // BC. Từ điểm M trên cạnh BC, vẽ các

          đường thẳng song song AB và AC, các đường thẳng này cắt xy theo thứ tự tại D và E.

          Chứng minh các đường thẳng AM, BD, CE cùng đi qua một điểm.

                                                              PHƯƠNG PHÁP 2

    Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, AB. Trên

                  Các đường thẳng BM và CN lần lượt lấy các điểm D và E sao cho M là trung  

                 điểm BD và N là trung điểm EC.

                  Chứng minh ba điểm E, A, D thẳng hàng.

Hướng dẫn: Xử dụng phương pháp 2                                            

                  Ta chứng minh AD // BC và AE // BC.

BÀI GIẢI.

                 BMC và DMA có:

                   MC = MA (do M là trung điểm AC)

                    (hai góc đối đỉnh)

                   MB = MD (do M là trung điểm BD)

                  Vậy: BMC = DMA (c.g.c)

                   Suy ra: , hai góc này ở vị trí so le trong nên BC // AD (1)

                   Chứng minh tương tự : BC // AE (2)

                   Điểm A ở ngoài BC có một và chỉ một đường thẳng song song BC nên từ (1)

                   và (2) và theo Tiên đề Ơ-Clit suy ra ba điểm E, A, D thẳng hàng. 

   Ví dụ 2: Cho hai đoạn thẳng  AC và BD cắt nhau tai trung điểm O của mỗi đoạn. Trên tia

                 AB lấy lấy điểm M sao cho B là trung điểm AM, trên tia AD lấy điểm N sao cho

                 D là trung điểm AN. 

con là 5 tuổi

bố là 35 tuổi

con 5 tuổi

bố 35 tuổi

 Hiện nay, nếu tuổi con là 1 phần thì tuổi bố là 7 phần như thế. Ta có sơ đồ thứ nhất :
?
Tuổi con : |——-| ?
Tuổi bố :  |——-|——-|——-|——-|——-|——-|——-|

Hiệu số tuổi của hai bố con hiện nay là : 7 – 1 = 6 (phần)
Hiện nay tỉ số giữa tuổi con và hiệu số tuổi của hai bố con là 1 : 6 = 1/6
Sau 7 năm nữa, nếu tuổi con là 2 phần thì tuổi bố là 7 phần như thế (mỗi phần bây giờ có giá trị khác mỗi phần ở trên). Ta có sơ đồ thứ hai :
?
Tuổi con : |——-|——-|
Tuổi bố :   |——-|——-|——-|——-|——-|——-|——-|

Sau 7 năm hiệu số tuổi của hai bố con là : 7 – 2 = 5 (phần)
Sau 7 năm tỉ số giữa tuổi con và hiệu số tuổi của hai bố con là 2 : 5 = 2/5
Vì hiệu số tuổi của hai bố con không bao giờ thay đổi nên ta có thể so sánh về tỉ số giữa tuổi con hiện nay và tuổi con sau 7 năm nữa.
– Tuổi con hiện nay bằng 1/6 hay 5/30 hiệu số tuổi của hai bố con.
– Tuổi con sau 7 năm nữa bằng 2/5 hay 12/30 hiệu số tuổi của hai bố con.
Vậy tuổi con hiện nay bằng 5/12 tuổi con 7 năm sau nữa. Ta có sơ đồ tuổi con ở hai thời điểm :
?
Hiện nay     : |——-|——-|——-|——-|——-|                             7
Sau 7 năm  : |——-|——-|——-|——-|——-|——-|——-|——-|——-|——-|——-|——-|

Tuổi con hiện nay là :7:(12-5)x5=5 (tuổi)
Tuổi bố hiện nay là : 5 x 7 = 35 (tuổi)
Đáp số : Con : 5 tuổi ; Bố : 35 tuổi

giờ mới đăng thì ngta cx lớp 9 rồi cha nội Hồ Đức Việt ạ =)))

Cha:35t

con:5t

Hiện nay tuổi con so với hiệu số tuổi 2 cha con là: 

\(1:\left(7-1\right)=\dfrac{1}{6}\)

Sau 15 nă nữa tuổi con so với hiệu số tuổi 2 cha con là: 

\(2:\left(5-2\right)=\dfrac{2}{3}\)

Phân số chỉ 15 năm nữa hiệu số tuổi 2 cha con là: 

\(\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{2}\)

Hiệu số tuổi 2 cha con là: 

\(15:\dfrac{1}{2}=30\) tuổi

Hiệu số phần bằng nhau là: 7 -1 = 6 phần 

Tuổi con hiện nay là: \(\left(30:6\right).1=5\) tuổi 

5 tuổi

Gọi số tuổi con là a ,tuổi cha là 4a

Ta cóa+ 15/4 +15=2/5 =4/10

a/4a=1/4=2/8

Vậy con 15 tuổi

Tuổi bố là 15×4=60 (tuổi)

           Đs: 60 tuổi

                   15 tuổi

Hiện nay tuổi con kém tuổi cha là \(\frac{6}{7}\)tuổi cha hiện nay.

Sau 7 năm nữa tuổi con kém tuổi cha \(\frac{5}{7}\)tuổi cha lúc đso.

Hiệu giữa tuổi cha và con không thay đổi nên:

\(\frac{6}{7}\)tuổi cha hiện nay = \(\frac{5}{7}\) tuổi cha sau đây 7 năm

hay \(\frac{6}{7}\)tuổi cha hiện nay = \(\frac{5}{7}\)(tuổi cha hiện nay + 7 tuổi)

tức là \(\frac{6}{7}\) tuổi cha hiện nay = \(\frac{5}{7}\) tuổi cha hiện nay + 5 tuổi             (tính chất phân phối)

Do đó \(\frac{1}{7}\) tuổi cha hiện nay = 5 tuổi

Suy ra tuổi cha hiện nay là: 5 : \(\frac{1}{7}\)=35 (tuổi)

Tuổi con hiện nay là: 35 . \(\frac{1}{7}\)=5 (tuổi)

       Bài giải hay không ? Cho **** nhé !