TA CÓ \(\Delta ADB\)đồng dạng \(\Delta AEC\)(g-g)

\(\Rightarrow\)\(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\)

Xét \(\Delta AED\)và \(\Delta ACB\) có :

góc A chung

\(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\)(CMT)

\(\Rightarrow\Delta AED\infty\Delta ACB\)(c-g-c)

\(\frac{S\Delta AED}{S\Delta ACB}=\left(\frac{AD}{AB}\right)^2\)=\(\frac{3}{4}\)

\(\Rightarrow\frac{AD}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\Rightarrow\cos A=\frac{\sqrt{3}}{2}\)

\(\Rightarrow\)góc A=60 ĐỘ

cảm ơn bạn nhiều nha!!!!!!!!!!!!!!!!

Xét tứ giác BEDC có

góc BEC=góc BDC=90 độ

=>BEDC là tứ giác nội tiếp

=>góc AED=góc ACB

Xét ΔAED và ΔACB có

góc AED=góc ACB

góc A chung

=>ΔAED đồng dạng với ΔACB

=>S AED/S ACB=(AE/AC)^2=(cos60)^2=1/4

=>S AED=1/4*S ACB

Bạn tử kẻ hình nhé .

a)\(\Delta ABD~\Delta ACE\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}\)

\(\Rightarrow\Delta ADE~\Delta ABC\left(c.g.c\right)\)

\(\Rightarrow\frac{S_{ADE}}{S_{ABC}}=\left(\frac{AD}{AB}\right)^2=cos^2\widehat{BAC}\)

\(\Rightarrow S_{ADE}=S_{ABC}.cos^2\widehat{BAC}\)

b)Ta có : \(S_{BCDE}=S_{ABC}-S_{ADE}=S_{ABC}-S_{ABC}.cos^2\widehat{BAC}=S_{ABC}\left(1-cos^2\widehat{BAC}\right)=S_{ABC}.sin^2\widehat{BAC}\)

Ta có  \(S_{IHK}=S_{ABC}-S_{AIK}-S_{BKH}-S_{CIH}\)

\(\Rightarrow\frac{S_{IHK}}{S_{ABC}}=\frac{S_{ABC}-S_{AIK}-S_{BKH}-S_{CIH}}{S_{ABC}}\)

                \(=1-\frac{S_{AIK}}{S_{ABC}}-\frac{S_{BKH}}{S_{ABC}}-\frac{S_{CIH}}{S_{ABC}}\)

Kẻ \(KK_1\perp AC\)

Ta có      \(\frac{S_{AIK}}{S_{ABC}}=\frac{\frac{1}{2}KK_1\cdot AI}{\frac{1}{2}BI\cdot AC}=\frac{KK_1\cdot AI}{BI\cdot AC}\)

Do \(KK_1\)song song với \(BI\Rightarrow\frac{KK_1}{BI}=\frac{AK}{AB}\)

Nên :  \(\frac{S_{AIK}}{S_{ABC}}=\frac{AI\cdot AK}{AC\cdot AB}\)

Trong tam giác vuông \(AKC,\)ta có :

\(\frac{AK}{AC}=\cos A\)

Trong tam giác vuông \(AIB,\)ta có 

\(\frac{AI}{AB}=\cos A\)

rồi tiếp theo dễ rồi , bạn suy nghĩ tiếp nhá

a: Xét ΔADB vuông tại D và ΔAEC vuông tại E có

góc A chung

=>ΔADB đồng dạng với ΔAEC

=>AD/AE=AB/AC

=>AD*AC=AB*AE;AD/AB=AE/AC

b: Xét ΔADE và ΔABC có

AD/AB=AE/AC

góc DAE chung

=>ΔADE đồng dạng với ΔABC

=>góc ADE=góc ABC

d: ΔADE đồng dạngvới ΔABC

=>\(\dfrac{S_{ADE}}{S_{ABC}}=\left(\dfrac{AD}{AB}\right)^2=\dfrac{1}{4}\)

=>\(S_{ADE}=30\left(cm^2\right)\)

 

Vì \(\widehat{BAC}=60^o\) nên \(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac12\) (sẽ giải thích ở phần sau)

Xét tam giác ABD vuông tại D và tam giác ACE vuông tại E có:

\(\widehat{A}\) là góc chung

Nên \(\triangle ACE \backsim \triangle ABD (g.g) \text{theo tỉ số đồng dạng } k=\dfrac{AD}{AB}=\dfrac12\)

\(=> \dfrac{S_{\triangle{ADE}}}{S_{\triangle{ABC}}} = k^2=(\dfrac12)^2=\dfrac14\)

Vậy \( \dfrac{S_{\triangle{ADE}}}{S_{\triangle{ABC}}} = \dfrac14\)

Bình luận: Vì sao \(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac12\)?

Chứng minh điều này như sau:

Kẻ đường trung tuyến DM của tam giác ABD.

Từ đây suy ra \(MD=\dfrac12 AB\) (định lý đường trung tuyến trong tam giác vuông)

Mà \(AM=\dfrac12 AB\) (do DM là trung tuyến)

Nên \(AM=MD\)

Do đó tam giác AMD cân tại M

Mà \(\widehat{MAD}=60^o\) (do \(\widehat{BAC}=60^o\))

Nên tam giác AMD đều

\(=>AM=AD\)

\(=>\dfrac{1}{2}AB=AD\) (DM trung tuyến)

\(=>\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{1}{2}=>đpcm\)

Vì \(\widehat{BAC}=60^o\) nên \(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac12\) (sẽ giải thích ở phần sau)

Xét tam giác ABD vuông tại D và tam giác ACE vuông tại E có:

\(\widehat{A}\) là góc chung

Nên \(\triangle ACE \backsim \triangle ABD (g.g)\)

Từ đó tự suy ra \(\triangle ADE \backsim \triangle ABC (c.g.c) \text{ theo tỉ số đồng dạng }k=\dfrac{AD}{AB}=\dfrac12\) 

\(=> \dfrac{S_{\triangle{ADE}}}{S_{\triangle{ABC}}} = k^2=(\dfrac12)^2=\dfrac14\)

Vậy \( \dfrac{S_{\triangle{ADE}}}{S_{\triangle{ABC}}} = \dfrac14\)

Bình luận: Vì sao \(\dfrac{AD}{AB}=\dfrac12\)?

Chứng minh điều này như sau:

Kẻ đường trung tuyến DM của tam giác ABD.

Từ đây suy ra \(MD=\dfrac12 AB\) (định lý đường trung tuyến trong tam giác vuông)

Mà \(AM=\dfrac12 AB\) (do DM là trung tuyến)

Nên \(AM=MD\)

Do đó tam giác AMD cân tại M

Mà \(\widehat{MAD}=60^o\) (do \(\widehat{BAC}=60^o\))

Nên tam giác AMD đều

\(=>AM=AD\)

\(=>\dfrac{1}{2}AB=AD\) (DM trung tuyến)

\(=>\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{1}{2}=>đpcm\)