Vì a,b,c là 3 số phân biệt nên nhiều nhất sẽ có 1 số bằng 0 

Gỉa sử a = 0 thì ... ( tự làm:v )

Nên A khác 0

Tương tự giả sử lần lượt b và c ta có điều phải chứng minh 

Cách của t đấy , làm theo ý nghĩ

Nguyễn Thế Hoàng

12 phút · 

2,

A=a⁴(b-c)+b⁴(c-a)+c⁴(a-b)

=a⁴(b-c)+b⁴[c-b)-(a-b)]+c⁴(a-b)

=a⁴(b-c)-b⁴(b-c)+c⁴(a-b)-b⁴(a-b)

=(a⁴-b⁴)(b-c)+(c⁴-b⁴)(a-b)

=(a-b)(b-c)(a+b)(a²+b²)-(a-b)(b-c)(b+c)(b²+c²)

=(a-b)(b-c)(a³+b³+a²b+ab²-b³-c³-b²c-bc²)

=(a-b)(b-c)(a²c+b²c+c³+abc+bc²+c²a-a³-ab²-ac²-a²b-abc-a²c)

=(a-b)(b-c)(c-a)(a²+b²+c²+ab+bc+ca)

=1/2(a-b)(b-c)(c-a)(2a²+2b²+2c²+2ab+2bc+2ca)

=1/2(a-b)(b-c)(c-a)[(a+b)²+(b+c)²+(c+a)²] khác 0

Theo mình 4 dòng cuối bài giải của Nguyễn Thiều Công Thành phải có dấu "-" (âm) ở trước biểu thức

21. Phân tích A thành \(A=\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)\left(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac\right)\). Từ đó dễ dàng chứng minh.

23. \(9y\left(y-x\right)=4x^2\Leftrightarrow9y^2-9xy=4x^2\Leftrightarrow4x^2+9xy-9y^2=0\)

Chia cả hai vế của đẳng thức trên với \(y^2>0\)được : 

\(4\left(\frac{x}{y}\right)^2+\frac{9x}{y}-9=0\). Đặt \(t=\frac{x}{y},t>0\)(Vì x,y dương)

\(\Rightarrow4^2+9t-9=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}t=\frac{3}{4}\left(\text{nhận}\right)\\t=-3\left(\text{loại}\right)\end{cases}}\)

Vậy \(\frac{x}{y}=\frac{3}{4}\Rightarrow y=\frac{4x}{3}\)thay vào biểu thức được :

\(\frac{x-y}{x+y}=\frac{x-\left(\frac{4x}{3}\right)}{x+\left(\frac{4x}{3}\right)}=-\frac{1}{7}\)

Đặt \(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\)

Hàm f(x) liên tục trên R

Ta có:  \(f\left(1\right)=a+b+c\) ; \(f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{a}{4}+\dfrac{b}{2}+c\)

\(\Rightarrow f\left(1\right)+f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{5a}{4}+\dfrac{3b}{2}+2c=0\)

\(\Rightarrow f\left(1\right)=-f\left(\dfrac{1}{2}\right)\)

\(\Rightarrow f\left(1\right).f\left(\dfrac{1}{2}\right)=-\left[f\left(1\right)\right]^2\le0\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)\)  luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left[\dfrac{1}{2};1\right]\) hay pt đã cho luôn có nghiệm