a) Tam giác ABH vuông tại H, HE là đường cao

\(\Rightarrow AH^2=AE.AB\)(1)

Tam giác AHC vuông tại H, HF là đường cao

\(\Rightarrow AH^2=AF.AC\)(2)

từ (1) và (2) nên AE.AB=AF.AC(đpcm)

b) Tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao

\(\Rightarrow AB^2=BH.BC\)(3)

Tam giác BIC vuông tại B, BA là đường cao

\(\Rightarrow AB^2=IA.IC\) mà theo (3) thì \(BH.BC=IA.IC\left(\text{đ}pcm\right)\)

c) Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH

\(AH^2=BH.CH\Leftrightarrow AH^2=9.16=144\Leftrightarrow AH=12\)(cm)

BC=9+16=25(cm)

Tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao

\(AB^2=BH.BC=9.25=225\Leftrightarrow AB=15\)

\(AC^2=CH.BC=16.25=400\Leftrightarrow AC=20\)

Tam giác ABC có AD là phân giác

\(\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}\Leftrightarrow\frac{15}{20}=\frac{BD}{CD}\Leftrightarrow\frac{15}{BD}=\frac{20}{CD}=\frac{15+20}{BD+CD}=\frac{35}{25}=\frac{7}{5}\)

\(\Leftrightarrow BD=\frac{15.5}{7}=\frac{75}{7}\)\(\Leftrightarrow DH=BD-BH=\frac{75}{7}-9=\frac{12}{7}\)

Áp dụng định lý Py-ta-go vào tam giác vuông AHD:

\(AD^2=DH^2+AH^2=\frac{144}{49}+144=\frac{7200}{49}\Rightarrow AD=\frac{60\sqrt{2}}{7}\)

d) Tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao

\(AB^2=BH.BC\);\(AC^2=CH.BC\)

\(\Rightarrow\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{HB.BC}{CH.BC}=\frac{BH}{CH}\left(\text{đ}pcm\right)\)

Còn câu e chờ mình xíu

c) Ta sẽ chứng minh bổ đề sau để dễ dàng tính: Cho \(\Delta\)ABC vuông tại A đường phân giác AD. Chứng minh: \(\frac{1}{AB}+\frac{1}{AC}=\frac{\sqrt{2}}{AD}\)

C/m: Tự kẻ hình nha .Kẻ DH // AB => DH vuông góc AC. Vì \(\Delta\)ADH vuông tại H có góc DAH=90 nên \(\Delta\)ADH vuông cân tại H

=> \(AD=\sqrt{2}DH\Rightarrow DH=\left(\frac{AD}{\sqrt{2}}\right)\)

Ta có DH // AB => \(\frac{DH}{AB}=\frac{HC}{AC}=\frac{AC-AH}{AC}\) vì (HC=AC-AH)