a)

\(\int\frac{2\left(x_{ }+1\right)}{x^2+2x_{ }-3}dx=\int\frac{2x+2}{x^2+2x-3}dx\)

\(=\int\frac{d\left(x^2+2x-3\right)}{x^2+2x-3}=ln\left|x^2+2x-3\right|+C\)

b)\(\int\frac{2\left(x-2\right)dx}{x^2-4x+3}=\int\frac{2x-4dx}{x^2-4x+3}=\int\frac{d\left(x^2-4x+3\right)}{x^2-4x+3}=ln\left|x^2-4x+3\right|+C\)

\(=\int\left(6x^2-\dfrac{4}{x}+sin3x-cos4x+e^{2x+1}+9^{x-1}+\dfrac{1}{cos^2x}-\dfrac{1}{sin^2x}\right)dx\)

\(=2x^3-4ln\left|x\right|-\dfrac{1}{3}cos3x-\dfrac{1}{4}sin4x+\dfrac{1}{2}e^{2x+1}+\dfrac{9^{x-1}}{ln9}+tanx+cotx+C\)

a) Đặt \(\sqrt{2x-5}=t\) khi đó \(x=\frac{t^2+5}{2}\) , \(dx=tdt\)

Do vậy \(I_1=\int\frac{\frac{1}{4}\left(t^2+5\right)^2+3}{t^3}dt=\frac{1}{4}\int\frac{\left(t^4+10t^2+37\right)t}{t^3}dt\)

                \(=\frac{1}{4}\int\left(t^2+10+\frac{37}{t^2}\right)dt=\frac{1}{4}\left(\frac{t^3}{3}+10t-\frac{37}{t}\right)+C\)

Trở về biến x, thu được :

\(I_1=\frac{1}{12}\sqrt{\left(2x-5\right)^3}+\frac{5}{2}\sqrt{2x-5}-\frac{37}{4\sqrt{2x-5}}+C\)

b) \(I_2=\frac{1}{3}\int\frac{d\left(\ln\left(3x-1\right)\right)}{\ln\left(3x-1\right)}=\frac{1}{3}\ln\left|\ln\left(3x-1\right)\right|+C\)

c) \(I_3=\int\frac{1+\frac{1}{x^2}}{\sqrt{x^2-7+\frac{1}{x^2}}}dx=\int\frac{d\left(x-\frac{1}{x}\right)}{\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-5}}\)

Đặt \(x-\frac{1}{x}=t\)

\(\Rightarrow\) \(I_3=\int\frac{dt}{\sqrt{t^2-5}}=\ln\left|t+\sqrt{t^2-5}\right|+C\)

                           \(=\ln\left|x-\frac{1}{x}+\sqrt{x^2-7+\frac{1}{x^2}}\right|+C\)

Chịu thôi khó quá.

a) Mẫu số chứa các biểu thức có nghiệm  thực và không có nghiệm thực.

\(f\left(x\right)=\frac{x^2+2x-1}{\left(x-1\right)\left(x^2+1\right)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+1}=\frac{A\left(x^2+1\right)+\left(x-1\right)\left(Bx+C\right)}{\left(x-1\right)\left(x^2+1\right)}\left(1\right)\)

Tay x=1 vào 2 tử, ta có : 2=2A, vậy A=1

Do đó (1) trở thành : 

\(\frac{1\left(x^2+1\right)+\left(x-1\right)\left(Bx+C\right)}{\left(x-1\right)\left(x^2+1\right)}=\frac{\left(B+1\right)x^2+\left(C-B\right)x+1-C}{\left(x-1\right)\left(x^2+1\right)}\)

Đồng nhất hệ số hai tử số, ta có hệ :

\(\begin{cases}B+1=1\\C-B=2\\1-C=-1\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin{cases}B=0\\C=2\\A=1\end{cases}\)\(\Rightarrow\)

\(f\left(x\right)=\frac{1}{x-1}+\frac{2}{x^2+1}\)

Vậy :

\(f\left(x\right)=\frac{x^2+2x-1}{\left(x-1\right)\left(x^2+1\right)}dx=\int\frac{1}{x-1}dx+2\int\frac{1}{x^2+1}=\ln\left|x+1\right|+2J+C\left(2\right)\)

* Tính \(J=\int\frac{1}{x^2+1}dx.\)

Đặt \(\begin{cases}x=\tan t\rightarrow dx=\left(1+\tan^2t\right)dt\\1+x^2=1+\tan^2t\end{cases}\)

Cho nên :

\(\int\frac{1}{x^2+1}dx=\int\frac{1}{1+\tan^2t}\left(1+\tan^2t\right)dt=\int dt=t;do:x=\tan t\Rightarrow t=arc\tan x\)

Do đó, thay tích phân J vào (2), ta có : 

\(\int\frac{x^2+2x-1}{\left(x-1\right)\left(x^2+1\right)}dx=\ln\left|x-1\right|+arc\tan x+C\)

b) Ta phân tích 

\(f\left(x\right)=\frac{x^2+1}{\left(x-1\right)^3\left(x+3\right)}=\frac{A}{\left(x-1\right)^3}+\frac{B}{\left(x-1\right)^2}+\frac{C}{x-1}+\frac{D}{x+3}\)\(=\frac{A\left(x+3\right)+B\left(x-1\right)\left(x+3\right)+C\left(x-1\right)^2\left(x+3\right)+D\left(x-1\right)^3}{\left(x-1\right)^3\left(x+3\right)}\)

Thay x=1 và x=-3 vào hai tử số, ta được :

\(\begin{cases}x=1\rightarrow2=4A\rightarrow A=\frac{1}{2}\\x=-3\rightarrow10=-64D\rightarrow D=-\frac{5}{32}\end{cases}\)

Thay hai giá trị của A và D vào (*) và đồng nhất hệ số hai tử số, ta cso hệ hai phương trình :

\(\begin{cases}0=C+D\Rightarrow C=-D=\frac{5}{32}\\1=3A-3B+3C-D\Rightarrow B=\frac{3}{8}\end{cases}\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=\frac{1}{2\left(x-1\right)^3}+\frac{3}{8\left(x-1\right)^2}+\frac{5}{32\left(x-1\right)}-+\frac{5}{32\left(x+3\right)}\)

Vậy : 

\(\int\frac{x^2+1}{\left(x-1\right)^3\left(x+3\right)}dx=\)\(\left(\frac{1}{2\left(x-1\right)^3}+\frac{3}{8\left(x-1\right)^2}+\frac{5}{32\left(x-1\right)}-+\frac{5}{32\left(x+3\right)}\right)dx\)

\(=-\frac{1}{a\left(x-1\right)^2}-\frac{3}{8\left(x-1\right)}+\frac{5}{32}\ln\left|x-1\right|-\frac{5}{32}\ln\left|x+3\right|+C\)

\(=-\frac{1}{a\left(x-1\right)^2}-\frac{3}{8\left(x-1\right)}+\frac{5}{32}\ln\left|\frac{x-1}{x+3}\right|+C\)

\(=\left(\frac{m}{4}x^4-x^3+\frac{2}{3}\left(x-1\right)^{\frac{3}{2}}-\frac{4m}{2.x^2}-\frac{5}{2.x^2}-7mx+C\right)\)
 

a) Dùng phương pháp hữu tỉ hóa "Nếu \(f\left(x\right)=R\left(e^x\right)\Rightarrow t=e^x\)"  ta có \(e^x=t\Rightarrow x=\ln t,dx=\frac{dt}{t}\)

Khi đó \(I_1=\int\frac{t^3}{t+2}.\frac{dt}{t}=\int\frac{t^2}{t+2}dt=\int\left(t-2+\frac{4}{t+2}\right)dt\)

                \(=\frac{1}{2}t^2-2t+4\ln\left(t+2\right)+C=\frac{1}{2}e^{2x}-2e^x+4\ln\left(e^x+2\right)+C\)

b) Hàm dưới dấu nguyên hàm

\(f\left(x\right)=\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt[3]{x^2}}=R\left(x;x^{\frac{1}{2}},x^{\frac{2}{3}}\right)\)

q=BCNN(2;3)=6

Ta thực hiện phép hữu tỉ hóa theo :

"Nếu \(f\left(x\right)=R\left(x:\left(ã+b\right);\left(ax+b\right)^{r2},....\right),r_k=\frac{P_k}{q_k}\in Q,k=1,2,...,m\Rightarrow t=\left(ax+b\right)^{\frac{1}{q}}\),q=BCNN \(\left(q_1,q_2,...,q_m\right)\)"

=> \(t=x^{\frac{1}{6}}\Rightarrow x=t^{6,}dx=6t^5dt\)

Khi đó nguyên hàm đã cho trở thành :

\(I_2=\int\frac{t^3}{t^6-t^4}6t^{5dt}=\int\frac{6t^4}{t^2-1}dt=6\int\left(t^2+1+\frac{1}{t^2-1}\right)dt\)

     \(=6\int\left(t^2+1\right)dt+2\int\frac{dt}{\left(t-1\right)\left(t+1\right)}=2t^3+6t+3\int\frac{dt}{t-1}-3\int\frac{dt}{t+1}\)

     \(=2t^2+6t+3\ln\left|t-1\right|-3\ln\left|t+1\right|+C=2\sqrt{x}+6\sqrt[6]{x}+3\ln\left|\frac{\sqrt[6]{x-1}}{\sqrt[6]{x+1}}\right|+C\)

c) Hàm dưới dấu nguyên hàm có dạng :

\(f\left(x\right)=R\left(x;\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{\frac{2}{3}};\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{\frac{5}{6}}\right)\)

q=BCNN (3;6)=6

Ta thực hiện phép hữu tỉ hóa được

\(t=\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^{\frac{1}{6}}\Rightarrow x=\frac{t^6+1}{t^6-1},dx=\frac{-12t^5}{\left(t^6-1\right)^2}dt\)

Khi đó hàm dưới dấu nguyên hàm trở thành

\(R\left(t\right)=\frac{1}{\left(\frac{t^6+1}{t^6-1}\right)^2-1}\left[t^4-t^5\right]=\frac{\left(t^6-1\right)^2}{4t^6}\left(t^4-t^5\right)\)

Do đó :

\(I_3=\int\frac{\left(t^6-1\right)^2}{4t^6}\left(t^4-t^5\right).\frac{-12t^5}{\left(t^6-1\right)}dt=3\int\left(t^4-t^3\right)dt\)

    \(=\frac{5}{3}t^5-\frac{3}{4}t^4+C=\frac{3}{5}\sqrt[6]{\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^5}-\frac{3}{4}\sqrt[3]{\left(\frac{x+1}{x-1}\right)^2}+C\)

Ta có :

\(\frac{3x+2}{x^2+2x-3}=\frac{E\left(2x+2\right)+D}{x^2+2x-3}=\frac{2E+D+2E}{x^2+2x-3}\)

Đồng nhất hệ số hai tử sốta có hệ phương trình 

\(\begin{cases}2E=3\\D+2E=2\end{cases}\) \(\Rightarrow\begin{cases}E=\frac{3}{2}\\D=-1\end{cases}\)

\(\Rightarrow\) \(\frac{3x+2}{x^2+2x-3}=\frac{\frac{3}{2}\left(2x+2\right)}{x^2+2x-3}-\frac{1}{x^2+2x-3}\)

Vậy :

\(\int\frac{3x+2}{x^2+2x-3}dx=\frac{3}{2}\int\frac{d\left(x^2+2x-3\right)}{x^2+2x-3}+\int\frac{1}{x^2+2x-3}dx\)\(=\frac{3}{2}\ln\left|x^2+2x-3\right|+J\left(1\right)\)

Tính :

\(J=\int\frac{1}{x^2+2x-3}dx=\frac{1}{4}\left(\int\frac{1}{x-1}dx-\int\frac{1}{x+3}dx\right)=\frac{1}{4}\ln\left|x-1\right|-\ln\left|x+3\right|=\frac{1}{4}\ln\left|\frac{x-1}{x+3}+C\right|\)

Do đó :  \(\int\frac{3x+2}{x^2+2x-3}dx=\frac{3}{2}\ln\left|x^2+2x-3\right|+\frac{1}{4}\ln\left|\frac{x-1}{x+3}\right|+C\)

b) Ta có :

\(\frac{2x-3}{x^2+4x+4}=\frac{E\left(2x+4\right)+D}{x^2+4x+4}=\frac{2Ex+D+4E}{x^2+4x+4}\)

Đồng nhất hệ số  hai tử số :

Ta có hệ : \(\Leftrightarrow\)\(\begin{cases}2E=2\\D+4E=-3\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin{cases}E=1\\D=-7\end{cases}\)

Suy ra :

\(\frac{2x-3}{x^2+4x+4}=\frac{2x+4}{x^2+4x+4}-\frac{7}{x^2+4x+4}\)

Vậy : \(\int\frac{2x-3}{x^2+4x+4}dx=\int\frac{2x+4}{x^2+4x+4}dx-7\int\frac{1}{\left(x+2\right)^2}dx=\ln\left|x^2+4x+4\right|+\frac{7}{x+2}+C\)

Biến đổi :

\(4\sin x+3\cos x=A\left(\sin x+2\cos x\right)+B\left(\cos x-2\sin x\right)=\left(A-2B\right)\sin x+\left(2A+B\right)\cos x\)

Đồng nhất hệ số hai tử số, ta có :

\(\begin{cases}A-2B=4\\2A+B=3\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}A=2\\B=-1\end{cases}\)

Khi đó \(f\left(x\right)=\frac{2\left(\left(\sin x+2\cos x\right)\right)-\left(\left(\sin x-2\cos x\right)\right)}{\left(\sin x+2\cos x\right)}=2-\frac{\cos x-2\sin x}{\sin x+2\cos x}\)

Do đó, 

\(F\left(x\right)=\int f\left(x\right)dx=\int\left(2-\frac{\cos x-2\sin x}{\sin x+2\cos x}\right)dx=2\int dx-\int\frac{\left(\cos x-2\sin x\right)dx}{\sin x+2\cos x}=2x-\ln\left|\sin x+2\cos x\right|+C\)

bạn làm thế này nhé

= \(\left(a\sqrt{x}+\frac{3^x}{ln3^2}+lncosx+\frac{3}{2}x^2-2x+C\right)\)