ta sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông  

\(\frac{1}{MN^2}+\frac{1}{MP^2}=\frac{1}{AH^2}\)

mà MN=3MP/4

they vào ta đc : \(\frac{1}{\left(\frac{3}{4}MP\right)^2}+\frac{1}{MP^2}=\frac{1}{12^2}\)

<=> \(\frac{16}{9MP^2}+\frac{1}{MP^2}=\frac{1}{12^2}\)

<==> \(\frac{25}{9MP^2}=\frac{1}{12^2}\)=>\(MP^2=\frac{12^2.15}{9}=240\)

=> MP=\(4\sqrt{15}\)

bài 10: gống cái trên :

tiếp : tính:\(NM=\frac{3}{4}MP=3\sqrt{15}\)

áp dungnj đl pita go ta có : 

NP=\(\sqrt{MN^2+MP^2}=5\sqrt{15}\)

Sửa đề: Đường cao MH

Áp dụng HTL:

\(MH^2=NH.HP\)

\(\Rightarrow MH=\sqrt{NH.HP}=\sqrt{4.12}=4\sqrt{3}\left(cm\right)\)

\(\left\{{}\begin{matrix}MN^2=NH.NP=4.\left(12+4\right)=64\\MP^2=HP.NP=12\left(12+4\right)=192\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}MN=8\left(cm\right)\\MP=8\sqrt{3}\left(cm\right)\end{matrix}\right.\)

b: Xét ΔPDM vuông tại P có PH là đường cao ứng với cạnh huyền MD, ta được:

\(MH\cdot MD=MP^2\left(1\right)\)

Xét ΔMNP vuông tại M có MH là đường cao ứng với cạnh huyền NP, ta được:

\(PH\cdot PN=MP^2\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(MH\cdot MD=PH\cdot PN\)

Sửa đề: MP=24cm

NP=căn 18^2+24^2=30cm

NH=MN^2/NP=18^2/30=324/30=10,8cm

MH=18*24/30=14,4cm

(Tự vẽ hình)

- Xét △MNP vuông tại M, áp dụng định lí Pytago:

\(^{NM^2}\)+\(MP^2\)=\(NP^2\)

=\(72^2\)+\(96^2\)=\(NP^2\)

⇔\(NP^2\)=\(72^2\)+\(96^2\)=14400

⇔\(NP\)=\(\sqrt{14400}\)=120cm

 - Xét △MNP vuông tại M, đường cao MH, theo hệ thức lượng ta có:

\(MN^2\)=\(NH.NP\)

\(72^2\)=\(NH.120\)

⇔\(NH\)=\(\dfrac{72^2}{120}\)=43,2 cm

- \(MH.NP\)=\(MP.MN\)

⇔ \(MH\)=\(\dfrac{MP.MN}{NP}\)=\(\dfrac{96.72}{120}\)=3,6cm

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông vào ΔNMP vuông tại M có MH là đường cao ứng với cạnh huyền NP, ta được:

\(MH^2=HN\cdot HP\)

\(\Leftrightarrow HP=\dfrac{2.4^2}{1.8}=3.2\left(cm\right)\)

Diện tích tam giác MNP là:

\(S_{MNP}=\dfrac{MH\cdot NP}{2}=\dfrac{2.4\cdot5}{2}=6\left(cm^2\right)\)

Áp dụng hệ thức trong tam giác vuông:

`MH^2 =NH.PH`

`=>PH=MH^2 : NH = 2,4^2 : 1,8=3,2(cm)`

`=> NP=NH+PH=5(cm)`

`=> S= 1/2 . MH .NP =6(cm^2)`

MH =  3 5 cm