4x²+4x+5

=(2x)²+2.2x.1+1+4

=(2x+1)²+4

mà (2x+1)²\(\ge\)0 => (2x+1)²+4 \(\ge\)4 => biểu thức có GTNN là 4 <=> 2x+1=0

                                                                                                          2x=-1

                                                                                                            x=-1/2

x = -1/2

**** cho tui nha mấy chế

A = 2 + 3\(\sqrt[]{x^2+1}\) 

Ta có: x² \(\ge\) 0, \(\forall\) x => x² \(\ge\) 1, \(\forall\) x

=> \(\sqrt[]{x^2+1}\) \(\ge\) \(\sqrt[]{1}\) 

=> 3\(\sqrt[]{x^2+1}\) \(\ge\) 3

=> 2 + 3\(\sqrt[]{x^2+1}\) \(\ge\) 5

Vậy A đạt GTNN khi bằng 5

Dấu "=" xảy ra khi x = 0

\(C=x^2+2x+1\dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow C=\left(x^2+2x+1\right)+\dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow C=\left(x+1\right)^2+\dfrac{1}{2}\ge\dfrac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=-1\)

Vậy \(C_{min}=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow x=-1\)

 \(C=x^2+2x+1\dfrac{1}{2}.\\ C=x^2+2x+1+\dfrac{1}{2}.\\ C=\left(x+1\right)^2+\dfrac{1}{2}.\)

Ta có: \(\left(x+1\right)^2\ge0\forall x\in R.\\ \dfrac{1}{2}>0. \)

\(\Rightarrow\left(x+1\right)^2+\dfrac{1}{2}\ge\dfrac{1}{2}.\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x+1=0.\Leftrightarrow x=-1.\)

Vậy GTNN của biểu thức C là \(\dfrac{1}{2}\) khi x = -1.

C3 : Ta có ; \(B=\sqrt{x-4}+\sqrt{y-3}\) . Nhận xét : \(B\ge0\)

• Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki : \(B^2=\left(1.\sqrt{x-4}+1.\sqrt{y-3}\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(x-4+y-3\right)\)

\(\Rightarrow B^2\le16\Rightarrow B\le4\). Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\hept{\begin{cases}x\ge4,y\ge3\\\sqrt{x-4}=\sqrt{y-3}\\x+y=15\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=8\\y=7\end{cases}}\)

Vậy B đạt giá trị lớn nhất bằng 4 tại (x;y) = (8;7)

Tìm GTNN và mấy bài tới để từ từ mình làm cho nhé , tại mạng đang chậm...

C4 : Bạn cần thêm điều kiện x là số dương nhé : )

Ta có ; \(A=\frac{2x^2-6x+5}{2x}=x+\frac{5}{2x}-3\). Áp dụng bất đẳng thức Cauchy : 

\(x+\frac{5}{2x}\ge2\sqrt{x.\frac{5}{2x}}=\sqrt{10}\). Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=\frac{5}{2x}\Leftrightarrow\sqrt{\frac{5}{2}}\)

Vậy Min A = \(\sqrt{10}-3\Leftrightarrow x=\sqrt{\frac{5}{2}}\)

C5 : Bạn cần thêm điều kiện a,b là hằng số nhé :) 

\(P=\frac{\left(x+a\right)\left(x+b\right)}{x}=\frac{x^2+ax+bx+ab}{x}=x+\frac{ab}{x}+a+b\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy : \(x+\frac{ab}{x}\ge2\sqrt{x.\frac{ab}{x}}=2\sqrt{ab}\Rightarrow P\ge a+2\sqrt{ab}+b=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(x^2=ab\Leftrightarrow x=ab\) (vì a,b,x > 0)

Vậy .......