\(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{99.100}\)

\(=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)

\(=1-\frac{1}{100}\)

\(=\frac{99}{100}\)

Cho hai số biết rằng bớt số thứ nhất 28 đơn vị thì được số thứ hai va 1/3 số thứ nhất bằng 3/5 số thứ hai.Tìm hai số đó

\(\frac{1}{1\times2}+\frac{1}{2\times3}+\frac{1}{3\times4}+....+\frac{1}{99\times100}\)

\(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)

\(\frac{1}{1}-\frac{1}{100}\)

\(\frac{100-1}{100}\)

\(\frac{99}{100}\)

\(\frac{1}{1\times2}+\frac{1}{2\times3}+\frac{1}{3\times4}+...+\frac{1}{99\times100}\)
\(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)
\(\frac{1}{1}-\frac{1}{100}\)
\(\frac{100-1}{100}\)
\(\frac{99}{100}\)

 

ta có :\(\frac{1}{1\cdot2}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\) 

          \(\frac{1}{2\cdot3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\)

           \(\frac{1}{3\cdot4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\)

            ......

          \(\frac{1}{99\cdot100}=\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)

=> \(A=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)

\(=>A=\frac{1}{1}-\frac{1}{100}=\frac{100}{100}-\frac{1}{100}=\frac{99}{100}\)

1/1.2 +1/2.3 +1/3.4 +...+1/98.99 +1/99.100

=1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+...+1/98-1/99+1/99-1/100

=1-1/100=100/100-1/100=99/100

Ta có: \(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{99.100}\)

   \(\Rightarrow\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+.....+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)

   \(\Rightarrow1-\frac{1}{100}=\frac{99}{100}\)

Đây là dạng tính nhanh tổng các phân số, trong đó mỗi phân số của tổng có tử số bằng hiệu hai thừa số dưới mẫu và mẫu thứ hai của thừa số này là mẫu số thứ nhất của phân số liền kề với nó. Em tách từng phân số thành hiệu hai phân số mà tử số là 1 còn mẫu số là mẫu hai mẫu số của phân số ban đầu. Triệt tiêu các hạng tử giống nhau ta được tổng cần tìm  

       Dưới đây là cách giải chi tiết em tham khảo nhé em.

A = \(\dfrac{1}{1\times2}\) + \(\dfrac{1}{2\times3}\) + \(\dfrac{1}{3\times4}\)+ .....+ \(\dfrac{1}{99\times100}\)

A = \(\dfrac{1}{1}\) - \(\dfrac{1}{2}\) + \(\dfrac{1}{2}\) - \(\dfrac{1}{3}\) + \(\dfrac{1}{3}\) - \(\dfrac{1}{4}\) +.....+ \(\dfrac{1}{99}\) - \(\dfrac{1}{100}\)

A =  \(\dfrac{1}{1}\) - \(\dfrac{1}{100}\)

A = \(\dfrac{99}{100}\)

HD: \(\dfrac{1}{nx\left(n+1\right)}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\)

A= \(1-\dfrac{1}{100}=\dfrac{99}{100}\)

b) \(\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+...+\frac{1}{2013.2015}\)

\(=\frac{1}{2}\left(\frac{2}{1.3}+\frac{2}{3.5}+\frac{2}{5.7}+...+\frac{2}{2013.2015}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(\frac{3-1}{1.3}+\frac{5-3}{3.5}+\frac{7-5}{5.7}+...+\frac{2015-2013}{2013.2015}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+...+\frac{1}{2013}-\frac{1}{2015}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2015}\right)=\frac{1007}{2015}\)

Phương trình tương đương với: 

\(\frac{1007X}{2015}=\frac{4}{2015}\Leftrightarrow X=\frac{4}{1007}\)

c) \(\frac{x+1}{2015}+\frac{x+2}{2016}=\frac{x+3}{2017}+\frac{x+4}{2018}\)

\(\Leftrightarrow\frac{x+1}{2015}-1+\frac{x+2}{2016}-1=\frac{x+3}{2017}-1+\frac{x+4}{2018}-1\)

\(\Leftrightarrow\frac{x-2014}{2015}+\frac{x-2014}{2016}=\frac{x-2014}{2017}+\frac{x-2014}{2018}\)

\(\Leftrightarrow x-2014=0\)

\(\Leftrightarrow x=2014\)

\(A=\frac{9}{1.2}+\frac{9}{2.3}+\frac{9}{3.4}+....+\frac{9}{98.99}+\frac{9}{99.100}\)

\(A=9\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+....+\frac{1}{98}-\frac{1}{99}+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\right)\)

\(A=9\left(1-\frac{1}{100}\right)\)

\(A=9\cdot\frac{99}{100}=\frac{891}{100}\)

\(A=9\left(\frac{1}{1x2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{99.100}\right)\)

=> \(A=9\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\right)\)

=> \(A=9\left(1-\frac{1}{100}\right)=\frac{9.99}{100}=\frac{891}{100}\)

=> A=8,91

Đặt S = 1x2+2x3+3x4+...+98x99+99x100

S x 3 =1x2x3+2x3x3+3x4x3+...+98x99x3+99x100x3

S x 3 =1x2x(3-0)+2x3x(4-1)+3x4x(5-2)+....+98x99x(100-97)+99x100x(101-98)

S x 3 = 1x2x3 + 2x3x4-1x2x3+3x4x5-2x3x4+...+98x99x100-97x98x99+99x100x101-98x99x100

S x 3 = 99x100x101

S x 3 = 999900

S = 333300

=5(x1/1x2 + 1/2x3 +... +1/99x100)

= 5 x( 1/1 - 1/2 +1/2 -1/3 +... +1/99 -1/100)

= 5 x( 1 /1- 1/100)

= 5 x99/100 

= 99/ 20