tk : Câu hỏi của Cát Thảo Ngân

cảm ơn nha

mắt sao z CMR ..............

1 phần thôi nhé

Nối BE, Gọi P là giao điểm của AD với BE.

Áp dụng định lí Ceva cho tam giác ABE => AH/HE=BP/PE=> HP//AB(1).

Từ (1)=> Tam giác AHP cân tại H=> AH=HP.(2)

Ta cần chứng minh AD//CE <=> DP//CE <=> BD/BC=BP/BE <=> BD/BC=1-(EP/BE).(3)

Mà EP/BE=HP/AB (do (1))=> EP/BE= AH/AB=HD/DB (do (2) và tc phân giác).  (4)

Khi đó (3)<=> BD/BC=1-(HD/DB) hay (BD/BC)+(HD/DB)=1 <=> BD^2+HD*BC=BC*DB

<=>  BD^2+HD*BC= (BD+DC)*BD <=> BD^2+HD*BC= BD^2+BD*DC <=> HD*BC=BD*DC  

<=> HD/DB=CD/BC <=> AH/AB=CD/BC. (5) 

    Chú ý: Ta cm được: CA=CD (biến đổi góc).

Nên (5) <=> AH/AB=CA/BC <=> Tg AHB đồng dạng Tg CAB.( luôn đúng)

=> DpCm. 

a) Ta có: ^ABH=^HAC (Cùng phụ với ^BAH) => 1/2^ABH=1/2^HAC => ^EBA=^EAC

^EAC+^BAE=^BAC=900. Mà ^EBA=^EAC => ^EBA+^BAE=900.

Xét tam giác ABE: ^EBA+^BAE=900 => ^AEB=900.

=> Tam giác ABE vuông tại E (đpcm)

b) Gọi M là giao điểm của CJ và AI.

Gọi K là giao điểm của BE và CM.

^ACH=^BAH (Cùng phụ với ^HAC) => 1/2^ACH=1/2^BAH => ^MAB=^ACM

^MAB+^MAC=900 => ^ACM+^MAC=900 => Tam giác AMC vuông tại M.

Xét tam giác AIJ: IE vuông góc AJ, JM vuông góc AI. Mà IE giao JM tại K.

=> K là trực tâm của tam giác AIJ => AK vuông góc IJ.

Xét tam giác ABC: BE là phân giác ^ABC, CM là phân giác ^ACB.

BE giac CM tại K => AK là phân giác ^BAC. Mà AD là phân giác ^BAC.

=> A,K,D thẳng hàng => AD vuông góc với IJ (đpcm)

 a) và b) Gọi \(P=CA\cap BD,Q=BA\cap CE\)

 Tam giác ABP vuông tại A \(\Rightarrow\widehat{DAP}=90^o-\widehat{DAB}\) và \(\widehat{P}=90^o-\widehat{DBA}\)

 Dễ thấy tam giác DAB cân tại D nên \(\widehat{DAB}=\widehat{DBA}\). Từ đó suy ra \(\widehat{DAP}=\widehat{P}\) hay tam giác DAP cân tại D \(\Rightarrow DA=DB=DP\) hay D là trung điểm BP. Tương tự, ta có E là trung điểm CQ.

 Gọi \(I'=CD\cap AH\). Khi đó áp dụng bổ đề hình thang cho hình thang AHBP, ta có ngay I' là trung điểm AH. Lại áp dụng bổ đề hình thang lần nữa cho hình thang AHCQ, ta thấy B, I, E thẳng hàng (*)

 (*) Bổ đề hình thang phát biểu rằng: Trong 1 hình thang, 2 trung điểm của 2 cạnh đáy, giao điểm 2 đường chéo và giao điểm của 2 đường thẳng chứa 2 cạnh bên của nó thẳng hàng.

 Do đó \(I'\equiv I\), suy ra I, A, H thẳng hàng, đồng thời \(IA=IH\). 

 c) Theo Thales: \(\dfrac{DA}{DE}=\dfrac{AI}{EC}\) \(\Rightarrow DE.AI=DA.EC\). Mà \(DA=DB\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) nên ta có đpcm.

Thanks anh/chị Lê Song Phương nhiều ạ, nhờ có chị mà em hiểu rõ hơn về toán lớp 9 r ạ!#

a) Gọi giao điểm của BI và AQ là M. 

Ta thấy \(\widehat{AIM}=\widehat{BAI}+\widehat{ABI}=\frac{\widehat{BAH}}{2}+\frac{\widehat{ABC}}{2}=\frac{\widehat{BAH}+\widehat{ABC}}{2}=\frac{90^o}{2}=45^o\)

Ta cũng có \(\widehat{IAM}=\widehat{IAK}+\widehat{KAM}=\frac{\widehat{BAH}}{2}+\frac{\widehat{HAC}}{2}=\frac{\widehat{BAH}+\widehat{HAC}}{2}=\frac{90^o}{2}=45^o\)

Vậy thì \(\widehat{AMI}=90^o\Rightarrow IK\perp AQ\)

Hoàn toàn tương tự \(QK\perp AI\)

Vậy K là trực tâm tam giác AQI.

b) Ta có \(\widehat{KQM}=\widehat{QAC}+\widehat{QCA}=\frac{\widehat{HAC}}{2}+\frac{\widehat{ACH}}{2}=\frac{\widehat{HAC}+\widehat{ACH}}{2}=\frac{90^o}{2}=45^o\)

Xét tam giác vuông KMQ có \(\widehat{KQM}=45^o\Rightarrow\) KMQ là tam giác cân tại M hay MK = MQ.

Theo a, MA = MI vậy nên \(\Delta AMK=\Delta IMQ\left(c-g-c\right)\Rightarrow AK=IQ\left(đpcm\right).\)

Tại sao IAK=1/2 BAH v ạ