Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Các đường cao $AD$, $BE$, $CF$ cắt nhau tại $H$. 

a) Chứng minh các tứ giác $BCEF$ và $AFDC$ nội tiếp.

b) Vẽ đường kính $AA'$ của đường tròn $(O)$ cắt $EF$ tại $Q$, $CF$ tại $N$, $BC$ tại $P$. Chứng minh tứ giác $CEQA'$ nội tiếp.

c) Gọi $M$ là giao điểm của $EF$ với $AD$. Chứng minh các điểm $M$, $P$, $Q$, $D$ cùng thuộc một đường tròn.

d) Gọi $R$ là giao điểm của $A'C$ với $AD$. Chứng minh tứ giác $HRA'N$ nội tiếp.

Cho tam giác ABC ( AB<AC) nội tiếp đường tròn (O) , bán kính R , đường cao AD,BE,CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.

Chứng minh:

1) tứ giác BFHD,BFEC nội tiếp đường tròn

2) FH là tia phân giác của góc DFE và H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF

3) Gọi M là trung điểm BC . Chứng minh OM//AD và tứ giác DMEF nội tiếp

4) Gọi N là giao điểm AD và BF , chứng minh 1/HN - 1/HD = 2/AH

5) Gọi K là giao điểm AD và đường tròn (O) , khác A . Chứng minh HK đối xứng qua BC

Cho tam giác nhọn ABC(AB<AC) nội tiếp đường tròn (O;R). Các  đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tai H. 

a, Chứng minh rằng các  tứ giác BFHD, BFEC nội tiếp đường tròn.

b,Chứng minh rằng FH là tia phân giác của góc DFE và H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.

c,Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh rằng OM//AD và tứ giác DMEF nội tiếp.

d,Gọi N là giao điểm của AD và EF .Chứng minh

1/HN-1/HĐ=2/AH

Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O), các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC đồng quy tại K.

a) chứng minh các tứ giác AEKF và BCEF nội tiếp, định vị tâm của mỗi đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó.

b) chứng minh EK là tia phân giác góc DEF và cho biết vị trí đặc biệt của K đối với tam giác DEF.

c) BC cắt EF tại S, SA cắt đường tròn (O) tại điểm thứ 2 là T. chứng minh tứ giác ATEF nội tiếp và tính góc ATK.

d) chứng minh AE.FT=AF.ET+AT.FE