Tìm tất cả hàm số f: N-->N thỏa mãn f(f(n)) =n+2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
8 tháng 6 2023
câu 2:
a) Trước tiên ta chứng minh f đơn ánh. Thật vậy nếu f (n1) = f (n2) thì
f (f(n1) + m) = f (f(n2) + m)
→n1 + f(m + 2003) = n2 + f(m + 2003) → n1 = n2
b) Thay m = f(1) ta có
f (f(n) + f(1)) = n + f (f(1) + 2003)
= n + 1 + f(2003 + 2003)
= f (f(n + 1) + 2003)
Vì f đơn ánh nên f(n)+f(1) = f(n+1)+2003 hay f(n+1) = f(n)+f(1)−2003. Điều này dẫn đến
f(n + 1) − f(n) = f(1) − 2003, tức f(n) có dạng như một cấp số cộng, với công sai là f(1) − 2003,
số hạng đầu tiên là f(1). Vậy f(n) có dạng f(n) = f(1) + (n − 1) (f(1) − 2003), tức f(n) = an + b.
Thay vào quan hệ hàm ta được f(n) = n + 2003, ∀n ∈ Z
+.
QH
0
TT
0
Giả sử tồn tại hàm \(f\left(n\right)\)thỏa mãn đề bài.
Ta sẽ chứng minh \(f\left(n\right)=n+1\)với mọi \(n\inℕ\).(1)
Thật vậy, (1) đúng với \(n=0\). \(f\left(0\right)=1,f\left(f\left(0\right)\right)=f\left(1\right)=2=0+2\)
Giả sử (1) đúng đến \(n=k\ge1\)tức là \(f\left(k\right)=k+1\)
Ta sẽ chứng minh (1) đúng với \(n=k+1\)tức là \(f\left(k+1\right)=k+2\).
Thật vậy, ta có: \(f\left(k+1\right)=f\left(f\left(k\right)\right)=k+2\).
Do đó (1) đúng với \(n=k+1\).
Theo giả thiết quy nạp (1) đúng với mọi \(n\inℕ\).
Vậy \(f\left(n\right)=n+1\).