Sao khóc vậy. Để t giúp cho :)

Ta có: \(A=\left(3x-2y\right)^2+y^2+2yz+z^2+\left(z-x\right)^2\)

\(=\left(3x-2y\right)^2+\left(y+z\right)^2+\left(z-x\right)^2\)

Vì x, y, z nguyên nên A cũng phải nguyên. Để \(0\le A\le1\) thì A = 0 hoặc A = 1

Với A = 0 thì ta có

\(\left(3x-2y\right)^2+\left(y+z\right)^2+\left(z-x\right)^2=0\)

Ta có: \(\left\{\begin{matrix}\left(3x-2y\right)^2\ge0\\\left(y+z\right)^2\ge0\\\left(z-x\right)^2\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(3x-2y\right)^2+\left(y+z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\)

Dấu = xảy ra khi: \(\left\{\begin{matrix}3x-2y=0\\y+z=0\\z-x=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow x=y=z=0\)

Với A = 1 thì

\(\left(\left(3x-2y\right)^2,\left(y+x\right)^2,\left(z-x\right)^2\right)=\left(1,0,0;0,1,0;0,0,1\right)\)

Thế lần lược vào ta thấy không có giá trị nào nguyên

Vậy x = y = z = 0 là giá trị duy nhất thỏa bài toán

help me TT

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(3x-2y\right)^2+\left(y+z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\\\left(3x-2y\right)^2+\left(y+z\right)^2+\left(z-x\right)^2\le1\end{matrix}\right.\) \(\begin{matrix}\left(1\right)\\\left(2\right)\end{matrix}\)

(1) đúng với mọi x,y,z thuộc R =>đúng với mọi x,y,z thuộcZ

có

điều kiện cần thỏa mãn (2)

\(\left\{{}\begin{matrix}\left|3x-2y\right|\le1\\\left|y+z\right|\le1\\\left|z-x\right|\le1\end{matrix}\right.\) \(\begin{matrix}\left(a\right)\\\left(b\right)\\\left(c\right)\end{matrix}\)

\(\left(b\right)+\left(c\right)\Leftrightarrow\left|y+z\right|+\left|z-x\right|=\left|y+z\right|+\left|x-z\right|\ge\left|y+z+x-z\right|=\left|y+x\right|\) (d)

\(\left|3x-2y\right|+\left|2y+2x\right|\ge\left|3x-2y+2y+2x\right|=\left|5x\right|\)

cần : \(\left|5x\right|\le2\Leftrightarrow x=\left\{0;\pm1\right\}\)

x=0 từ (a) => y =0 ; từ (b) (c)=z =0 ; (x;y;z) =(0;0;0)

x=1 từ (a) =y={1;2}

với y=1 từ (b) => z=-1 ; (x;y;z) =(1;1;-1)

với y=2 từ (b) => z =-2 từ (c) $|-2-1| \ne 0$ loại

x=-1 từ (a) =y={-1;-2}

với y=-1 từ (b) => z= 1 ; (x;y;z) =(-1;-1;1)

với y=-2 từ (b) => z = 2 từ (c) $| 2+1| \ne 0$ loại

kết luận

(x;y;z) =(0;0;0);(1;1;1); (-1;-1;1)

cảm ơn

Bài 2: 

Tìm GTLN: \(x^2+xy+y^2=3\Leftrightarrow xy=\left(x+y\right)^2-3\Rightarrow xy\ge-3\Rightarrow-7xy\le21\)

\(P=2\left(x^2+xy+y^2\right)-7xy\le2.3+21=27\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x+y=0\\xy=-3\end{cases}\Leftrightarrow}\orbr{\begin{cases}x=\sqrt{3},y=-\sqrt{3}\\x=-\sqrt{3},y=\sqrt{3}\end{cases}}\)

Tìm GTNN: 

 Chứng minh \(xy\le\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)\Rightarrow\frac{3}{2}xy\le\frac{1}{2}\left(x^2+y^2+xy\right)\)

\(\Rightarrow\frac{3}{2}xy\le\frac{3}{2}\Rightarrow xy\le1\Rightarrow-7xy\ge-7\)

\(P=2\left(x^2+xy+y^2\right)-7xy\ge2.3-7=-1\)

Chúc bạn học tốt.

Làm bài 1 ha :) 

Áp dụng BĐT Cô si ta có:

\(\left(1-x^3\right)+\left(1-y^3\right)+\left(1-z^3\right)\ge3\sqrt[3]{\left(1-x^3\right)\left(1-y^3\right)\left(1-z^3\right)}\)

\(\Leftrightarrow\frac{3-\left(x^3+y^3+z^3\right)}{3}\ge\sqrt[3]{\left(1-x^3\right)\left(1-y^3\right)\left(1-z^3\right)}\)

Mặt khác:\(\frac{3-\left(x^3+y^3+z^3\right)}{3}\le\frac{3-3xyz}{3}=1-xyz\)

Khi đó:

\(\left(1-xyz\right)^3\ge\left(1-x^3\right)\left(1-y^3\right)\left(1-z^3\right)\)

Giống Holder ghê vậy ta :D

\(A=\sqrt{x^2+y\left(y-2x\right)}+\sqrt{y^2+z\left(z-2y\right)}+\sqrt{x^2+z\left(z-2x\right)}\)

\(=\sqrt{x^2-2xy+y^2}+\sqrt{y^2-2yz-z^2}+\sqrt{x^2-2xz+z^2}\)

\(=\sqrt{\left(x-y\right)^2}+\sqrt{\left(y-z\right)^2}+\sqrt{\left(z-x\right)^2}\)

\(=x-y+y-z+z-x\)

\(=0\)