Câu 1:

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=\frac{a+b+c}{b+c+d}\)

=>\(\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{d}=\frac{a+b+c}{b+c+d}.\frac{a+b+c}{b+c+d}.\frac{a+b+c}{b+c+d}\)

=>\(\frac{a}{d}=\left(\frac{a+b+c}{b+c+d}\right)^3\)(đpcm)

Câu 2:

\(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}\)

+)\(a+b+c=0\)

=> \(a=-\left(b+c\right);b=-\left(c+a\right);c=-\left(a+b\right)\)

=>\(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}=\frac{a}{-a}=\frac{b}{-b}=\frac{c}{-c}=-1\)

+)\(a+b+c\ne0\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: 

\(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}=\frac{a+b+c}{b+c+c+a+a+b}=\frac{a+b+c}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{2}\)

Vậy ......................

Câu 3:

Thiếu đề rồi !?

1. 

\(A=\left(x+y\right)-\left(z+t\right)\)

\(A=x+y-z-t\)

\(A=\left(x-z\right)+\left(y-t\right)\)

\(\Rightarrow A=B\)

\(3+\left(-2\right)+x=5\)

\(1+x=5\)

\(x=4\)

-a+b-b-c+a+c-a=-a-a+a+(b-b)+(-c+c)=-a ,vay A duong neu a la so am

a) (x + y + z)² \(\le3\left(x^2+y^2+z^2\right)\)(1) 

<=> \(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\le3x^2+3y^2+3z^2\)

<=> \(2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2xz-2yz\ge0\)

<=> (x - y)² + (y - z)² + (z - x)² \(\ge0\) (đúng) 

=> (1) đúng "=" khi x = y = z

b) \(A=1\sqrt{4a+1}+1.\sqrt{4b+1}+1.\sqrt{4c+1}\)

\(\le\sqrt{\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(4a+1+4b+1+4c+1\right)}\)

\(=\sqrt{3.\left[4\left(a+b+c\right)+3\right]}=\sqrt{21}\left(\text{vì }a+b+c=1\right)\)

"=" xảy ra <=> \(\dfrac{1}{\sqrt{4a+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{4b+1}}=\dfrac{1}{\sqrt{4c+1}};a+b+c=1\)

<=> a = b = c = 1/3 

*\(\frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+d}\)=>ab+ad<ab+bc(b,d thuộc N*)

=>ad<bc 

Nhân cả hai vế cho 1/bd ta được:

a/b < c/d(Đúng với giả thiết) (b,d thuộc N*)

=>\(\frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+d}\)

*\(\frac{a+c}{b+d}<\frac{c}{d}\)=>ad+cd<bc+cd (b,d thuộc N*)

=>ad<bc

Nhân cả hai vế cho 1/bd ta được:

=>a/b<c/d (đúng với giả thiết) (b,d thuộc N*)

Vậy \(\frac{a}{b}<\frac{a+c}{b+d}<\frac{c}{d}\)