a)

1 n   . 1 n + 1 = 1 n ( n + 1 ) 1 n   − 1 n + 1 = n + 1 − n n ( n + 1 ) = 1 n ( n + 1 ) ⇒ 1 n   . 1 n + 1 = 1 n   − 1 n + 1

b) Áp dụng kết quả trên để tính giá trị biểu thức sau:

M = 1 3.4 + 1 4.5 + 1 5.6 + 1 6.7 + 1 7.8 + 1 8.9 + 1 9.10 + 1 10.11 M = 1 3 − 1 4 + 1 4 − 1 5 + 1 5 − 1 6 + 1 6 − 1 7 + 1 7 − 1 8 + 1 8 − 1 9 + 1 9 − 1 10 + 1 10 − 1 11 M = 1 3 − 1 11 M = 8 33

a/ Gọi c là số được cộng vào tử và mẫu cua phân số a/b

\(1-\frac{a}{b}=\frac{b-a}{b}\)

\(1-\frac{a+c}{b+c}=\frac{b-a}{b+c}\)

\(b+c>b\Rightarrow\frac{b-a}{b}>\frac{b-a}{b+c}\Rightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+c}\)

b/ Từ kq cau a ta thấy phân số \(\frac{43}{51}=\frac{39+4}{47+4}\Rightarrow\frac{43}{51}>\frac{39}{47}\)

Do a/b<1 <=> a>b <=> a+n>b+n.

Do a/b=1+[(a-b)/b] và (a+n)/(b+n)=1+[(a-b)/(b+n)]

Do [(a-b)/(b+n)] < [(a-b)/b] => (a+n)/(b+n) < [(a-b)/b]

b) Từ a) => 39/47>(39+4)/(47+4)=43/51

Vì  nên ta áp dụng kết quả trên có: 

để so sánh, ta xét hiệu a/b và a+n/b+n có: \(\frac{a}{b}-\frac{a+n}{b+n}=\frac{ab+an-ab-bn}{b\left(b+n\right)}=\frac{n\left(a-b\right)}{b\left(b+n\right)}\)

ta có mẫu gồm các số >0 => mẫu dương. n>0. nếu a>b => a-b>0 <=> \(\frac{n\left(a-b\right)}{b\left(b+n\right)}>0\Rightarrow\frac{a}{b}>\frac{a+n}{b+n}\). nếu a<b <=> a-b<0 => \(\frac{n\left(a-b\right)}{b\left(b+n\right)}

nếu a/b<1 => a/b< a+n/ b+n

nếu a/b>1=> a/b> a+n/ b+n

còn các câu áp dụng thì tự làm nhé

bai toan nay kho