Ta có:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\Leftrightarrow\left(a+b\right)c=ab\Leftrightarrow ab-bc-ab=0\)

Hay \(ab-bc-ab+c^2=c^2\Leftrightarrow\left(b-c\right)\left(a-c\right)=c^2\)

Nếu \(\left(b-c;a-c\right)=d\ne1\Rightarrow c^2=d^2\left(loai\right)\)

Vậy \(\left(b-c;a-c\right)=1\Rightarrow c-b;c-a\) là 2 số chính phương

Đặt \(b-c=n^2;a-c=m^2\)

\(\Rightarrow a+b=b-c+a-c+2c=m^2+n^2+2mn=\left(m+n\right)^2\) là số chính phương

cho mình hỏi tại sao ở TH1: c^2=d^2 lại loại vậy ạ

Gọi UCLN của a-c và b-c là d
 
mà a; b; c là 3 số đôi một nguyên tố cùng nhau nên d = 1
Do đó a-c và b-c là hai số chính phương. Đặt a-c = p2; b-c = q2
( p; q là các số nguyên)
c2 = p2q2
c = pq
a+b = (a- c) + (b – c) + 2c = ( p+ q)2 là số chính phương

tích mik nhé

Cho các số nguyên dương a;b;c đôi một nguyên tố cùng nhau, thỏa mãn: (a+b)c=ab.

Xét tổng M=a+b có phải là số chính phương không ? Vì sao?
 

\

Gọi UCLN của a-c và b-c là d
 
mà a; b; c là 3 số đôi một nguyên tố cùng nhau nên d = 1
Do đó a-c và b-c là hai số chính phương. Đặt a-c = p2; b-c = q2
( p; q là các số nguyên)
c2 = p2q2
c = pq
a+b = (a- c) + (b – c) + 2c = ( p+ q)2 là số chính phương

thtfgfgfghggggggggggggggggggggg

Ta có bổ đề sau: Với a,b nguyên sao cho a.b=n² mà (a,b)=1 thì a,b là số chính phương

Ta có: (a+b)c=ab \(\Rightarrow\) ab-ac-bc=0 \(\Rightarrow\) ab-ac-bc+c²=c² \(\Rightarrow\) (a-c)(b-c)=c²  (*)

Gọi  d là ƯCLN của (a-c) và (b-c) ta có:

a-c chia hết cho d ; b-c chia hết cho d. Mặt khác từ (*) ta có: c² chia hết cho d² \(\Rightarrow\) c chia hết cho d

nên a,c cũng chia hết cho d mà (a,b)=1 nên d=1. nên a-c; b-c là hai số chính phương

Đặt a-c=m²;b-c=n² (m,n tự nhiên) \(\Rightarrow\) c²=m²n² \(\Rightarrow\)c=mn

nên a-c+b-c=m²+n²\(\Rightarrow\)a+b=m²+n²+2c=m²+n²+2mn=(m+n)²

nhấn vào đúng 0 sẽ ra đáp án

đừng tích bạn ấy lừa đó

Trong tập hợp số nguyên không có khái niệm hai số nguyên tố cùng nhau. Trong bài này phải nói trị tuyệt đối của chúng đôi một nguyên tố cùng nhau.

1) \(a+b+c=0\Rightarrow2\left(a+b+c\right)=0\Rightarrow\frac{2\left(a+b+c\right)}{abc}=0\)

\(\Rightarrow M=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{2\left(x+y+z\right)}{xyz}\)

\(\Rightarrow M=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{2}{yz}+\frac{2}{zx}+\frac{2}{xy}\)

\(=\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2\)