11:

n^3-n^2+2n+7 chia hết cho n^2+1

=>n^3+n-n^2-1+n+8 chia hết cho n^2+1

=>n+8 chia hết cho n^2+1

=>(n+8)(n-8) chia hết cho n^2+1

=>n^2-64 chia hết cho n^2+1

=>n^2+1-65 chia hết cho n^2+1

=>n^2+1 thuộc Ư(65)

=>n^2+1 thuộc {1;5;13;65}

=>n^2 thuộc {0;4;12;64}

mà n là số tự nhiên

nên n thuộc {0;2;8}

Thử lại, ta sẽ thấy n=8 không thỏa mãn

=>\(n\in\left\{0;2\right\}\)

cảm on 

a) 2n+1⋮n-3

2n-6+7⋮n-3

2n-6⋮n-3 ⇒7⋮n-3

n-3∈Ư(7)

Ư(7)={1;-1;7;-7}

⇒n∈{4;2;10;-4}

a) Gọi ƯCLN (n.(n+1)/2,2n+3= n

=> n+ 3 : 7 

2n+ 3 chia hết cho n

=> 2 n. n+3 =7 : 3

=>3n^3 +3n : hết cho n

3n + 1 =n + 7

Nếu thế 3n + 7 ^3

n= -3 + 7n 

Vậy n = 21 

Một số tự nhiên chia hết cho n và  3

P.s: Tương tự và ko chắc :>

bài này  bạn đăng lần trước rồi mà

bạn có thể vô lại để xem lại bài nhé

a) 7n chia hết cho n+4

=> 7(n+4) -28 chia hết cho n+4

=> 28 chia hết cho n+4 ( Vì : 7(n+4) chia hết cho n+4 với mọi STN n )

=> n+4 thuộc Ư(27)= { \(\pm1;\pm3;\pm9;\pm27\) }

Đến đây bạn lập bảng gt rồi tìm ra x nhé.

b) n^2 + 2n + 6 chia hết cho n +4

=> n(n+4)-2(n+4)+14 chia hết cho n + 4

=> (n+4)(n-2)+14 chia hết cho n + 4

=> 14 chia hết cho n + 4 ( Vì : (n+4)(n-2) chia hết cho n + 4 với mọi STN n )

=> n+4 thuộc Ư(14)= {\(\pm1;\pm2;\pm7;\pm14\)}

Lập bảng giá trị rồi tìm ra x nha bạn

Gọi d là UCLN của 7n + 10 và 5n + 7 

Khi đó : 7n + 10 chia hết cho d , 5n + 7 chia hết cho d

<=> 5(7n + 10) chia hết cho d , 7(5n + 7) chia hết cho d

<=> 35n + 50 chia hết cho d , 35n + 49 chia hết cho d

<=> (35n + 50) - (35n + 49) chia hết cho d

<=> 35n + 50 - 35n - 49 chia hết cho d

<=> 1 chia hết cho d

=> d là ư(1) 

=> d = 1 

Vậy đpcm

để \(7⋮n+3\)

\(\Rightarrow n+3\inƯ\left(7\right)=\left\{\pm1;\pm7\right\}\)

ta có bảng:

vì \(n\inℕ\)

=>\(n\in\left\{4\right\}\)

b)

\(18⋮2n+1\)

\(\Rightarrow2n+1\inƯ\left(18\right)=\left\{\pm1;\pm2;\pm3;\pm4;\pm6;\pm9;\pm18\right\}\)

ta có bảng

mà \(x\inℕ\)

\(\Rightarrow x\in\left\{0;4;1\right\}\)

a) Nếu \(n\)chẵn thì \(n+10\)chẵn nên \(\left(n+10\right)\left(n+15\right)⋮2\).

Nếu \(n\)lẻ thì \(n+15\)chẵn nên \(\left(n+10\right)\left(n+15\right)⋮2\).

b) \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên trong 3 số \(n,n+1,n+2\)chắc chắn có ít nhất 1 số chia hết cho \(2\), 1 số chia hết cho \(3\)do đó ta có đpcm. 

c) \(n\left(2n+7\right)\left(7n+1\right)=6n.n\left(2n+7\right)+n\left(2n+7\right)\left(n+1\right)\)

\(=6n.n\left(2n+7\right)+2n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+3n\left(n+1\right)\)

Ta có: \(6n.n\left(2n+7\right)⋮6,2n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮6,3n\left(n+1\right)⋮6\)

do đó ta có đpcm.