Tứ giác ẠBMN có hai đường chéo vuông góc.

Ta có: S A B M N = 1/2 AM.BN

∆ ABM và  ∆ AMC có chung chiều cao kể từ A, cạnh đáy BM = MC nên: S A B M  =  S A M C  = 1/2 S A B C

∆ MNA và  ∆ MNC có chung chiều cao kê từ M, cạnh đáy AN = NC nên:  S M A N  =  S M N C  = 1/2  S A M C  = 1/4  S A B C

S A B M N  =  S A B M  +  S M N A  = 1/2  S A B C  + 1/4  S A B C  = 3/4  S A B C

Vậy  S A B C  = 4/3  S A B M N  = 4/3 .1/2 .AM.BN = 2/3 AM.BN

Ta có ABMN là tứ giác có hai đường chéo AM và BN vuông góc

nên có diện tích là: S_ABMN = 1 2 AB.MN

Hai tam giác AMC và ABC có chung đường cao hạ từ A

nên S A M C S A B C = M C B C = 1 2

=> S_AMC =  1 2 S_ABC (1)

Hai tam giác AMN và AMC có chung đường cao hạ từ M

nên S A M N S A M C = A N A C = 1 2

=> S_AMB =  1 2 S_ABC (2)

Từ (1) và (2) suy ra S_AMN = 1 4 S_ABC

Hai tam giác AMB và ABC có chung đường cao hạ từ A

nên S A M B S A B C = B M B C = 1 2

=> S_AMB =  1 2 S_ABC

Ta có: S_ABMN = S_AMN + S_ABM

=  1 4 S_ABC + 1 2 S_ABC = 3 4 S_ABC

=> S_ABC = 4 3 S_ABMN =  4 3 .AM. 1 2 BN = 2 3 AM.BN

Đáp án cần chọn là: D

a)

Có 2 trung tuyến BN, CM cắt nhau suy ra \(BN\perp AM\)

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, ta có \(BG=\dfrac{2}{3}BN=\dfrac{2}{3}.4=\dfrac{8}{3}\left(cm\right)\)

Trong tam giác ABN vuông tại A, đường cao AG, ta có:

\(AB^2=BG.BN\) (hệ thức lượng)

\(\Rightarrow AB=\sqrt{\dfrac{8}{3}.4}=\dfrac{4\sqrt{6}}{3}\left(cm\right)\)

Tam giác ABN vuông tại A

\(\Rightarrow AN^2=BN^2-AB^2\\ \Rightarrow AN=\sqrt{4^2-\left(\dfrac{4\sqrt{6}}{3}\right)^2}=\dfrac{4\sqrt{3}}{3}\left(cm\right)\)

Mà N là trung điểm AC => AC = \(\dfrac{8\sqrt{3}}{3}\left(cm\right)\)

Áp dụng đl pytago vào tam giác ABC: 

\(BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{\left(\dfrac{4\sqrt{6}}{3}\right)^2+\left(\dfrac{8\sqrt{3}}{3}\right)^2}=4\sqrt{2}\left(cm\right)\)

Thừa dữ kiện AM = 3cm, bạn coi kỹ đề đủ/ đúng hết chưa thì cmt để chút mình coi lại bài giải