( Tự vẽ hình )
a , Xét tam giác HDC có :

HI = DI

HM = CM 

=> IM là đường TB

=> IM // DC               *

     AD vuông góc DC  **

Từ * và ** => IM vuông AD

b , Xét tam giác ADM
IM vuông AD

DH vuông AM

=> DH giao IM tại I

=> I là giao điểm của đường thẳng cao

=> AI vuông DM

\(a,\left\{{}\begin{matrix}DI=IH\\HM=MC\end{matrix}\right.\Rightarrow IM\) là đtb tam giác DHC

\(\Rightarrow IM//DC\)

Mà \(AD\perp DC\Rightarrow IM\perp AD\)

\(b,\Delta ADC\) có \(DH\) là đường cao \(\left(DH\perp AC\right)\), \(MI\) là đường cao \(\left(MI\perp AD\right)\), \(MI\cap DH=I\) nên \(I\) là trực tâm

Vậy \(AI\perp DM\)

Gọi M là trung điểm của HC

Tam giác ABC cân tại A có AD là đường cao nên cũng là trung tuyến nên BD = CD

Kết hợp với HM = CM (theo cách chọn điểm phụ) suy ra DM là đường trung bình của tam giác HBC

Do đó, DM // BH (1)

Ta có MI là đường trung bình của tam giác HDC nên IM // DC

Mà AD vuông góc DC nên IM vuông góc AD

Tam giác ADM có hai đường cao MI và BH cắt nhau tại I nên I là trực tâm của tam giác ADM

Suy ra AI là đường cao còn lại của tam giác ADM nên AI vuông góc DM.(2)

Từ (1) và (2) suy ra AI vuông góc BH (đpcm)

1: Xét ΔHDC có 

M là trung điểm của HF

I là trung điểm của HD

Do đó: MI là đường trung bình của ΔHDC

Suy ra: MI//DF

hay MI//BC

2: Ta có: ΔABC cân tại A

mà AD là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy BC

nên AD là đường trung trực của BC

Ta có: MI//BC

AD\(\perp\)BC

Do đó: MI\(\perp\)AD